Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}-9}{125}\le {{\log }_{5}}\dfrac{{{x}^{2}}-9}{27}$ ?
A. $58$.
B. $112$.
C. $110$.
D. $117$.
A. $58$.
B. $112$.
C. $110$.
D. $117$.
Điều kiện: ${{x}^{2}}-9>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x>3 \\
& x<-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}-9}{125}\le {{\log }_{5}}\dfrac{{{x}^{2}}-9}{27}\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)-3{{\log }_{3}}5\le {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)-\dfrac{3}{{{\log }_{3}}5}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)-\dfrac{{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)}{{{\log }_{3}}5}\le 3{{\log }_{3}}5-\dfrac{3}{{{\log }_{3}}5}\Rightarrow \left( 1-\dfrac{1}{{{\log }_{3}}5} \right){{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)\le 3{{\log }_{3}}5-\dfrac{3}{{{\log }_{3}}5} \\
& \Rightarrow \left( {{\log }_{3}}5-1 \right){{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)\le 3\left( \log _{3}^{2}5-1 \right)\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)\le 3\left( {{\log }_{3}}5+1 \right)\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)\le 3{{\log }_{3}}15 \\
& \Rightarrow {{x}^{2}}-9\le {{15}^{3}}\Rightarrow {{x}^{2}}-3384\le 0\Rightarrow -6\sqrt{94}\le x\le 6\sqrt{94}. \\
\end{aligned} $Kết hợp với điều kiện và yêu cầu bài toán là $ x $ nguyên nên có $ x\in \left\{ \pm 4; \pm 5; ...;\pm 58 \right\}\Rightarrow $có 110 giá trị thỏa mãn bài toán.
& x>3 \\
& x<-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}-9}{125}\le {{\log }_{5}}\dfrac{{{x}^{2}}-9}{27}\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)-3{{\log }_{3}}5\le {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)-\dfrac{3}{{{\log }_{3}}5}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)-\dfrac{{{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)}{{{\log }_{3}}5}\le 3{{\log }_{3}}5-\dfrac{3}{{{\log }_{3}}5}\Rightarrow \left( 1-\dfrac{1}{{{\log }_{3}}5} \right){{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)\le 3{{\log }_{3}}5-\dfrac{3}{{{\log }_{3}}5} \\
& \Rightarrow \left( {{\log }_{3}}5-1 \right){{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)\le 3\left( \log _{3}^{2}5-1 \right)\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)\le 3\left( {{\log }_{3}}5+1 \right)\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-9 \right)\le 3{{\log }_{3}}15 \\
& \Rightarrow {{x}^{2}}-9\le {{15}^{3}}\Rightarrow {{x}^{2}}-3384\le 0\Rightarrow -6\sqrt{94}\le x\le 6\sqrt{94}. \\
\end{aligned} $Kết hợp với điều kiện và yêu cầu bài toán là $ x $ nguyên nên có $ x\in \left\{ \pm 4; \pm 5; ...;\pm 58 \right\}\Rightarrow $có 110 giá trị thỏa mãn bài toán.
Đáp án C.