Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left(...

Điều kiện của bất phương trình: $x^3+12x^2+45x+54>0\iff (x+6){(x+3)}^2>0\iff \{\begin{array}{rl}& x>-6\\ & x\ne -3\end{array}$.
Ta có: $2^{x^2+2x+2}-4^{x+3}=0\iff x^2+2x+2=2(x+3)\iff x=\pm 2$.
${\log }_2(x^3+12x^2+45x+54)-2=0$ $\iff x^3+12x^2+45x+54=4$
$\iff {(x+5)}^2(x+2)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-5\\ & x=-2\end{array}$.
Bảng xét dấu của vế trái (VT) bất phương trình đã cho
Từ bảng xét dấu, ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-6;-3)\cup (-3;2]$.
Vậy có tất cả $7$ số nguyên $x$ thỏa mãn yêu cầu là: $-5$ ; $-4$ ; $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$.