Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left[ {{\log...

$\left[ {{\log }_{3}}({{x}^{2}}-3x+29)-{{\log }_{3}}(x+15)-1 \right]\left( {{2}^{x+7}}-32 \right)<0$ $\left( 1 \right)$
+) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-3x+29>0 \\
& x+15>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>-15$.
Khi đó $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}({{x}^{2}}-3x+29)-{{\log }_{3}}(x+15)-1<0 \\
& {{2}^{x+7}}-32>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}({{x}^{2}}-3x+29)-{{\log }_{3}}(x+15)-1>0 \\
& {{2}^{x+7}}-32<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}-3x+29}{x+15}<1 \\
& {{2}^{x+7}}>{{2}^{5}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}-3x+29}{x+15}>1 \\
& {{2}^{x+7}}<{{2}^{5}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{2}}-3x+29}{x+15}<3 \\
& x+7>5 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{{{x}^{2}}-3x+29}{x+15}>3 \\
& x+7<5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-3x+29<3x+45 \\
& x>-2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-3x+29>3x+45 \\
& x<-2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-6x-16<0 \\
& x>-2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-6x-16>0 \\
& x<-2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& -2<x<8 \\
& x>-2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x>8 \\
& x<-2 \\
\end{aligned} \right. \\
& x<-2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow $ $ \left[ \begin{aligned}
& -2<x<8 \\
& x<-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình $\left( 1 \right)$ là: $T=\left( -15;8 \right)\backslash \left\{ -2 \right\}$
Vậy có $22$ giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn.