Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left[ {{\log }_{2}}\left(...

Ta có: $\left[ {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right) \right]\left( 32-{{2}^{x-1}} \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>-31 \\
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x+31 \right) \\
& 32\ge {{2}^{x-1}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x>-31 \\
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\le {{\log }_{2}}\left( x+31 \right) \\
& 32\le {{2}^{x-1}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>-31 \\
& {{x}^{2}}-x-30\ge 0 \\
& x-1\le 5 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x>-31 \\
& {{x}^{2}}-x-30\le 0 \\
& x-1\ge 5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>-31 \\
& \left[ \begin{aligned}
& x\le -5 \\
& x\ge 6 \\
\end{aligned} \right. \\
& x\le 6 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x>-31 \\
& x\in \left[ -5;6 \right] \\
& x\ge 6 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -31<x\le -5 \\
& x=6 \\
\end{aligned} \right.$
Do $x$ nguyên nên $x\in \left\{ -30;-29;-28;...;-5;6 \right\}$.
Vậy có 27 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn bất phương trình đã cho.