Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left[ {{\left( \dfrac{1}{3}...

Điều kiện : $x>0$.
Xét $f\left( x \right)=\left[ {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-4x-12}}-1 \right]\left( {{3}^{2-{{\log }_{3}}x}}-81x \right),x>0$
Ta có: $f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-4x-12}}=1 \\
& {{3}^{2-{{\log }_{3}}x}}=81x \\
\end{aligned} \right.$
$\bullet {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-4x-12}}=1\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-4x-12}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{0}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2\left( L \right) \\
& x=6 \\
\end{aligned} \right.$.
$\bullet {{3}^{2-{{\log }_{3}}x}}=81x\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{3}^{2-{{\log }_{3}}x}}={{\log }_{3}}81x\Leftrightarrow 2-{{\log }_{3}}x=4+{{\log }_{3}}x$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x=-1\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$
Bảng xét dấu:
Vậy $f\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\le x\le 6$, do đó có 6 số nguyên $x$ thỏa mãn là: $1;2;3;4;5;6$ .