Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn bất phương trình $\left( 2-{{\log }_{2}}({{2}^{x}}+1)-{{\log }_{3}}({{4}^{x}}+2) \right)\left[ {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+8 \right)-{{\log }_{3}}x+{{x}^{2}}-9x+6 \right]\ge 0$ ?
A. $8$.
B. Vô số.
C. $7$.
D. $9$.
A. $8$.
B. Vô số.
C. $7$.
D. $9$.
Điều kiện: $x>0$.
Do $x>0$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}({{2}^{x}}+1)>1 \\
& {{\log }_{3}}({{4}^{x}}+2)>1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\log }_{2}}({{2}^{x}}+1)+{{\log }_{3}}({{4}^{x}}+2)>2$
$\Rightarrow 2-{{\log }_{2}}({{2}^{x}}+1)-{{\log }_{3}}({{4}^{x}}+2)<0$.
Khi đó, $\left( 2-{{\log }_{2}}({{2}^{x}}+1)-{{\log }_{3}}({{4}^{x}}+2) \right)\left[ {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+8 \right)-{{\log }_{3}}x+{{x}^{2}}-9x+6 \right]\ge 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+8 \right)-{{\log }_{3}}x+{{x}^{2}}-9x+6\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+8 \right)+{{x}^{2}}+8-{{\log }_{3}}x-9x-2\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+8 \right)+{{x}^{2}}+8\le {{\log }_{3}}9x+9x \left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ liên tục trên $D=\left( 0; +\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0, \forall t\in D\Rightarrow $ hàm số $f(t)$ đồng biến trên $D$.
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+8 \right)\le f\left( 9x \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+8\le 9x\Leftrightarrow 1\le x\le 8$.
Do $x>0$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}({{2}^{x}}+1)>1 \\
& {{\log }_{3}}({{4}^{x}}+2)>1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\log }_{2}}({{2}^{x}}+1)+{{\log }_{3}}({{4}^{x}}+2)>2$
$\Rightarrow 2-{{\log }_{2}}({{2}^{x}}+1)-{{\log }_{3}}({{4}^{x}}+2)<0$.
Khi đó, $\left( 2-{{\log }_{2}}({{2}^{x}}+1)-{{\log }_{3}}({{4}^{x}}+2) \right)\left[ {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+8 \right)-{{\log }_{3}}x+{{x}^{2}}-9x+6 \right]\ge 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+8 \right)-{{\log }_{3}}x+{{x}^{2}}-9x+6\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+8 \right)+{{x}^{2}}+8-{{\log }_{3}}x-9x-2\le 0$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+8 \right)+{{x}^{2}}+8\le {{\log }_{3}}9x+9x \left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ liên tục trên $D=\left( 0; +\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0, \forall t\in D\Rightarrow $ hàm số $f(t)$ đồng biến trên $D$.
Suy ra $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+8 \right)\le f\left( 9x \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+8\le 9x\Leftrightarrow 1\le x\le 8$.
Đáp án A.