Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x+y>0 \\
& {{x}^{2}}+y>0 \\
& x,y\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ${{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{3}}\left( x+y \right)$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\ge {{4}^{{{\log }_{3}}\left( x+y \right)}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\ge {{\left( x+y \right)}^{{{\log }_{3}}4}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-y\ge {{\left( x+y \right)}^{{{\log }_{3}}4}}-\left( x+y \right)$. $\left( 1 \right)$
Đặt $t=x+y\Rightarrow t\ge 1$ thì $\left( 1 \right)$ được viết lại là ${{x}^{2}}-y\ge {{t}^{{{\log }_{3}}4}}-t$ $\left( 2 \right)$
Với mỗi $x$ nguyên cho trước có không quá $728$ số nguyên $y$ thỏa mãn bất phương trình $\left( 1 \right)$
Tương đương với bất phương trình $\left( 2 \right)$ có không quá $728$ nghiệm $t$.
Nhận thấy $f\left( t \right)={{t}^{{{\log }_{3}}4}}-t$ đồng biến trên $\left[ 1 ; +\infty \right)$ nên nếu ${{x}^{2}}-y\ge {{729}^{{{\log }_{3}}4}}-729=3367$ thì sẽ có ít nhất $729$ nghiệm nguyên $t\ge 1$.
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với ${{x}^{2}}-x\le 3367\Leftrightarrow -57\le x\le 58$.
Mà $x$ nguyên nên $x$ nhận các giá trị $-57,-56,...,57,58$.
Vậy có tất cả $116$ số nguyên $x$ thỏa yêu cầu bài toán.