Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá...

Điều kiện $x+y>0$ và ${{x}^{2}}+y>0$. Khi đó
${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{4}}\left( x+y \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\ge {{5}^{{{\log }_{4}}\left( x+y \right)}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\ge {{\left( x+y \right)}^{{{\log }_{4}}5}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x\ge {{\left( x+y \right)}^{{{\log }_{4}}5}}-\left( x+y \right)$ $\left( 1 \right)$
Đặt $t=x+y$ thì $\left( 1 \right)$ được viết lại là ${{x}^{2}}-x\ge {{t}^{{{\log }_{4}}5}}-t$ $\left( 2 \right)$
Với mỗi $x$ nguyên cho trước có không quá $255$ số nguyên $y$ thỏa mãn bất phương trình $\left( 1 \right)$
Tương đương với bất phương trình $\left( 2 \right)$ có không quá 255 nghiệm $t$.
Ta có hàm số $f\left( t \right)={{t}^{{{\log }_{4}}5}}-t$ đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right)$ nên nếu ${{x}^{2}}-x>{{256}^{{{\log }_{4}}5}}-256=369$ thì sẽ có ít nhất $256$ nghiệm nguyên $t\ge 1$.
Do đó yêu cầu bài toán tương đương với ${{x}^{2}}-x\le 369\Leftrightarrow -18\le x\le 19$ (do $x$ nguyên).
Vậy có tất cả $38$ số nguyên $x$ thỏa yêu cầu bài toán.