Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+y>0 \\
& x+y>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Đặt ${{\log }_{3}}\left( x+y \right)=t$, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+y\ge {{4}^{t}} \\
& x+y={{3}^{t}} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x\ge {{4}^{t}}-{{3}^{t}} \left( * \right) \\
& y={{3}^{t}}-x \\
\end{aligned} \right.$.
Nhận xét rằng hàm số $f\left( t \right)={{4}^{t}}-{{3}^{t}}$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ và $f\left( t \right)>0$ với mọi $t>0$
Gọi $n\in \mathbb{Z}$ thỏa ${{4}^{n}}-{{3}^{n}}={{x}^{2}}-x$, khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow t\le n$
Từ đó, ta có $-x<y={{3}^{t}}-x\le {{3}^{n}}-x$.
Mặt khác, vì có không quá $242$ số nguyên $y$ thỏa mãn đề bài nên ${{3}^{n}}\le 242\Leftrightarrow n\le {{\log }_{3}}242$.
Từ đó, suy ra ${{x}^{2}}-x\le {{4}^{{{\log }_{3}}242}}-242$ $\Leftrightarrow -27,4\le x\le 28,4$.
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ -27, -26, ..., 27, 28 \right\}$.
Vậy có $56$ giá trị nguyên của $x$ thỏa yêu cầu đề bài.