Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá...

Điều kiện: $\{\begin{array}{rl}& x^2+y>0\\ & x+y>0\end{array}$.
Đặt ${\log }_3(x+y)=t$, ta có $\{\begin{array}{rl}& x^2+y\ge 4^t\\ & x+y=3^t\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{rl}& x^2-x\ge 4^t-3^t(\ast )\\ & y=3^t-x\end{array}$.
Nhận xét rằng hàm số $f\left(t\right)=4^t-3^t$ đồng biến trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$ và $f\left(t\right)>0$ với mọi $t>0$
Gọi $n\in \mathbb{Z}$ thỏa $4^n-3^n=x^2-x$, khi đó $(\ast )\iff t\le n$
Từ đó, ta có $-x<y=3^t-x\le 3^n-x$.
Mặt khác, vì có không quá $242$ số nguyên $y$ thỏa mãn đề bài nên $3^n\le 242\iff n\le {\log }_{3}242$.
Từ đó, suy ra $x^2-x\le 4^{{\log }_{3}242}-242$ $\iff -27,4\le x\le 28,4$.
Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{-27,-26,...,27,28\}$.
Vậy có $56$ giá trị nguyên của $x$ thỏa yêu cầu đề bài.