Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi số nguyên $x$ có...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+y>0 \\
& x+y>0 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt ${{\log }_{3}}\left( x+y \right)=t$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+y\ge {{4}^{t}} \\
& x+y={{3}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x\ge {{4}^{t}}-{{3}^{t}} \\
& y={{3}^{t}}-x \\
\end{aligned} \right.$
Nhận xet: hàm số $f\left( t \right)={{4}^{t}}-{{3}^{t}}$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ và $f\left( t \right)>0, \forall t>0$
Gọi $n\in \mathbb{Z}$ thoả mãn ${{4}^{n}}-{{3}^{n}}={{x}^{2}}-x$, khi đó ${{4}^{t}}-{{3}^{t}}\le {{x}^{2}}-x\Rightarrow {{4}^{t}}-{{3}^{t}}\le {{4}^{n}}-{{3}^{n}}\Leftrightarrow t\le n$
Từ $x+y>0\Rightarrow -x<y={{3}^{t}}-x\le {{3}^{n}}-x$
Mặt khác, không quá 242 số nguyên $y$ thoả mãn đề bài nên ${{3}^{n}}\le 242\Leftrightarrow n\le {{\log }_{3}}242$
$\Rightarrow {{x}^{2}}-x={{4}^{n}}-{{3}^{n}}\le {{4}^{{{\log }_{3}}242}}-242\Leftrightarrow -27,4\le x\le 28,4\Rightarrow x\in \left\{ -27;-26;...;28 \right\}$
$\Rightarrow $ có $56$ số nguyên $x$ thoả mãn đề bài.