Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng mỗi $x$ có không quá 127 số nguyên $y$ thỏa mãn $\log _3\left(x^2+y\right) \geq \log _2(x+y) ?$
A. 45 .
B. 90 .
C. 46 .
D. 89 .
A. 45 .
B. 90 .
C. 46 .
D. 89 .
Xét $x=m$ là số nguyên để bất phương trình có tối đa 127 nghiệm nguyên $y$.
$\Rightarrow \log _3\left(m^2+y\right) \geq \log _2(m+y)$ (2).
Điều kiện: $m+y>0 \Rightarrow m+y$ nhỏ nhất là 1 .
Đặt $\log _2(m+y)=t \Rightarrow m+y=2^t \Rightarrow y=2^t-m$.
Bất phương trình (2) thành: $\log _3\left(m^2-m+2^t\right) \geq t \Leftrightarrow m^2-m \geq 3^t-2^t$ (3).
Xét $f(t)=3^t-2^t=2^t\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^t-1\right)$.
Do $\left(\dfrac{3}{2}\right)^t-1$ đồng biến và không âm trên $[0 ;+\infty) \Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $[0 ;+\infty)$.
Vì có không quá 127 giá trị của $y$ nên $m+y$ lớn nhất là $127 \Rightarrow t$ lớn nhất là $\log _2 127$. Bất phương trình (3) có nghiệm lớn nhất là $\log _2 127$.
$
m^2-m \leq f\left(\log _2 127\right) \simeq 2032,8 \Leftrightarrow m \in[-44 ; 45] \text {. }
$
Suy ra có 90 giá trị.
$\Rightarrow \log _3\left(m^2+y\right) \geq \log _2(m+y)$ (2).
Điều kiện: $m+y>0 \Rightarrow m+y$ nhỏ nhất là 1 .
Đặt $\log _2(m+y)=t \Rightarrow m+y=2^t \Rightarrow y=2^t-m$.
Bất phương trình (2) thành: $\log _3\left(m^2-m+2^t\right) \geq t \Leftrightarrow m^2-m \geq 3^t-2^t$ (3).
Xét $f(t)=3^t-2^t=2^t\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^t-1\right)$.
Do $\left(\dfrac{3}{2}\right)^t-1$ đồng biến và không âm trên $[0 ;+\infty) \Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $[0 ;+\infty)$.
Vì có không quá 127 giá trị của $y$ nên $m+y$ lớn nhất là $127 \Rightarrow t$ lớn nhất là $\log _2 127$. Bất phương trình (3) có nghiệm lớn nhất là $\log _2 127$.
$
m^2-m \leq f\left(\log _2 127\right) \simeq 2032,8 \Leftrightarrow m \in[-44 ; 45] \text {. }
$
Suy ra có 90 giá trị.
Đáp án B.