Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ thỏa mãn...

Điều kiện $x+y>0;{{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0.$
Đặt $t=\log _{3}^{{}}\left( x+y \right)=\log _{4}^{{}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& x+y={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right)$
Vì ${{\left( x+y \right)}^{2}}\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Rightarrow {{\left( {{3}^{t}} \right)}^{2}}\le {{2.4}^{t}}\Rightarrow t\le \log _{\dfrac{9}{4}}^{{}}2$
Thế thì ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{4}^{t}}\le {{4}^{\log _{\dfrac{9}{4}}^{{}}2}}\approx 3,27$, vì $x$ nguyên vậy nên ${{x}^{2}}\in \left\{ 0;1 \right\}$.
Với $x=0$, ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& y={{3}^{t}} \\
& {{y}^{2}}={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=0 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right.$
Với $x=1$, ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& y={{3}^{t}}-1 \\
& {{y}^{2}}={{4}^{t}}-1 \\
\end{aligned} \right.. $ Hệ này có nghiệm $ \left\{ \begin{aligned}
& t=0 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right..$
Với $x=-1$, ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& y={{3}^{t}}+1 \\
& {{y}^{2}}={{4}^{t}}-1 \\
\end{aligned} \right.. $ Ta có phương trình $ {{\left( {{3}^{t}}+1 \right)}^{2}}={{4}^{t}}-1\Leftrightarrow {{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{4}^{t}}+2=0\left( * \right)$
Đặt $f\left( t \right)={{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}-{{4}^{t}}+2$, ta có
Với $t\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}\ge {{4}^{t}}\Rightarrow f\left( t \right)>0$
Với $t<0\Rightarrow {{4}^{t}}<2\Rightarrow f\left( t \right)>0$
Vậy phương trình $\left( * \right)$ vô nghiệm
Kết luận: Vậy $x\in \left\{ 0;1 \right\}$