Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ thỏa mãn ${{3}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}={{4}^{x+y}}$
A. Vô số.
B. $5$.
C. $2$.
D. $1$.
A. Vô số.
B. $5$.
C. $2$.
D. $1$.
$
\begin{aligned}
&3^{x^{2}+y^{2}}=4^{x+y} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=\log _{3} 4^{x+y} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=(x+y) \log _{3} 4 \\
&\Leftrightarrow y^{2}-y \log _{3} 4+x^{2}-x \log _{3} 4=0,\left(^{*}\right)
\end{aligned}
$
Ta xem phương trình $(*)$ là phương trình ẩn $y$, tham số $x$.
Phương trình $(*)$ có nghiệm thực $y \Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow\left(-\log _{3} 4\right)^{2}-4\left(x^{2}-x \log _{3} 4\right) \geq 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{(1-\sqrt{2}) \log _{3} 4}{2} \leq x \leq \dfrac{(1+\sqrt{2}) \log _{3} 4}{2},\left(*^{\prime}\right)$.
Do đó có hai số nguyên $x=0$ và $x=1$ thỏa yêu cầu bài toán.
\begin{aligned}
&3^{x^{2}+y^{2}}=4^{x+y} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=\log _{3} 4^{x+y} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=(x+y) \log _{3} 4 \\
&\Leftrightarrow y^{2}-y \log _{3} 4+x^{2}-x \log _{3} 4=0,\left(^{*}\right)
\end{aligned}
$
Ta xem phương trình $(*)$ là phương trình ẩn $y$, tham số $x$.
Phương trình $(*)$ có nghiệm thực $y \Leftrightarrow \Delta \geq 0 \Leftrightarrow\left(-\log _{3} 4\right)^{2}-4\left(x^{2}-x \log _{3} 4\right) \geq 0$ $\Leftrightarrow \dfrac{(1-\sqrt{2}) \log _{3} 4}{2} \leq x \leq \dfrac{(1+\sqrt{2}) \log _{3} 4}{2},\left(*^{\prime}\right)$.
Do đó có hai số nguyên $x=0$ và $x=1$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án C.