Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ thoả mãn...

Đặt $a={{\log }_{3}}\left( x+y \right)=\log {_{4}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$, khi đó
$\left\{ \begin{aligned}
& x+y={{3}^{a}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{4}^{a}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y={{3}^{a}}-x \\
& x\left( {{3}^{a}}-x \right)=\dfrac{{{9}^{a}}-{{4}^{a}}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Xét phương trình ${{x}^{2}}+{{3}^{a}}x+\dfrac{{{9}^{a}}-{{4}^{a}}}{2}=0$
$\Delta ={{2.4}^{a}}-{{9}^{a}}\ge 0\Leftrightarrow a\le {{\log }_{\dfrac{9}{4}}}2\left( 1 \right)$, khi đó phương trình có nghiệm
$x=\dfrac{-{{3}^{a}}\pm \sqrt{2.{{a}^{a}}-{{9}^{a}}}}{2}$
$x\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \dfrac{-{{3}^{a}}\pm \sqrt{2.{{a}^{a}}-{{9}^{a}}}}{2}\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow \sqrt{{{2.4}^{a}}-{{9}^{a}}}=2k+1$ (do ${{3}^{a}}$ lẻ)
$\Rightarrow {{2.4}^{a}}={{9}^{a}}+{{\left( 2k+1 \right)}^{2}}$
Do $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=1 \\
\end{aligned} \right.$
So với điều kiện $\left( 1 \right)$ suy ra $a=0$