Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ thoả mãn...

The Professor · 23/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên

x

sao cho tồn tại số thực

y

thoả mãn

\log_{3} (x + y) = \log_{4} (x^{2} + y^{2})

?
A.

3

.
B.

2

.
C.

1

.
D. Vô số.

Đặt

a = \log_{3} (x + y) = \log_{4} (x^{2} + y^{2})

, khi đó

{\begin{aligned} x + y = 3^{a} \\ x^{2} + y^{2} = 4^{a} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} y = 3^{a} - x \\ x (3^{a} - x) = \frac{9^{a} - 4^{a}}{2} \end{aligned}

Xét phương trình

x^{2} + 3^{a} x + \frac{9^{a} - 4^{a}}{2} = 0

Δ = {2.4}^{a} - 9^{a} \geq 0 \Leftrightarrow a \leq \log_{\frac{9}{4}} 2 (1)

, khi đó phương trình có nghiệm

x = \frac{- 3^{a} \pm \sqrt{2. a^{a} - 9^{a}}}{2}

x \in Z \Leftrightarrow \frac{- 3^{a} \pm \sqrt{2. a^{a} - 9^{a}}}{2} \in Z

\Rightarrow \sqrt{{2.4}^{a} - 9^{a}} = 2 k + 1

(do

3^{a}

lẻ)

\Rightarrow {2.4}^{a} = 9^{a} + {(2 k + 1)}^{2}

Do

x \in Z \Rightarrow a \in Z \Rightarrow [\begin{aligned} a = 0 \\ a = 1 \end{aligned}

So với điều kiện

(1)

suy ra

a = 0

Đáp án C.

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thoả mãn...