Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x$ là nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-x+4}+1}{27} \right)+{{\log }_{5}}{{\left( {{x}^{2}}-x+5 \right)}^{2}}\le 0$ ?
A. $5$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $2$.
A. $5$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $2$.
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-x+4}\left( t>0 \right)$.
Khi đó: ${{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)-3\le 0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)\le 3$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)-3\Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 3}+\dfrac{4t}{2\left( {{t}^{2}}+1 \right)\ln 5}>0,\forall t>0$. Hàm số luôn đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Mặt khác từ bất phương trình suy ra
$f\left( t \right)\le f\left( 2 \right)\Leftrightarrow t\le 2\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+4}\le 2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x\le 0\Leftrightarrow 0\le x\le 1$.
Do $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{ 0;1 \right\}$ nên có $2$ giá trị của $x$ thỏa mãn.
Khi đó: ${{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)-3\le 0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)\le 3$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)-3\Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 3}+\dfrac{4t}{2\left( {{t}^{2}}+1 \right)\ln 5}>0,\forall t>0$. Hàm số luôn đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Mặt khác từ bất phương trình suy ra
$f\left( t \right)\le f\left( 2 \right)\Leftrightarrow t\le 2\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+4}\le 2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x\le 0\Leftrightarrow 0\le x\le 1$.
Do $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{ 0;1 \right\}$ nên có $2$ giá trị của $x$ thỏa mãn.
Đáp án D.