Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x\in \left( 0; 2025 \right)$ sao cho ứng với mỗi $x$, tồn tại ít nhất $10$ số nguyên $y\in \left( -3; 10 \right)$ thoả mãn ${{2}^{y}}{{3}^{x}}+6560\le {{3}^{2{{x}^{2}}+y}}$ ?
A. $2021$.
B. $2022$.
C. $2023$.
D. $2024$.
A. $2021$.
B. $2022$.
C. $2023$.
D. $2024$.
Ta có: ${{2}^{y}}{{3}^{x}}+6560\le {{3}^{2{{x}^{2}}+y}}\Leftrightarrow {{3}^{x}}.{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{y}}+\dfrac{6560}{{{3}^{y}}}-{{3}^{2{{x}^{2}}}}\le 0.$
Xét hàm số $f\left( y \right)={{3}^{x}}.{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{y}}+\dfrac{6560}{{{3}^{y}}}-{{3}^{2{{x}^{2}}}}$ ta có, $f'\left( y \right)={{3}^{x}}{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{y}}\ln \dfrac{2}{3}-\dfrac{6560.\ln 3}{{{3}^{y}}}<0, \forall y\in \left( -3; 10 \right)$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -3; 10 \right)$.
Để tồn tại ít nhất 10 số nguyên $y\in \left( -3; 10 \right)$ thoả mãn bất phương trình $f\left( y \right)\le 0$ thì
$f\left( 0 \right)\le 0\Leftrightarrow {{3}^{x}}-{{3}^{2{{x}^{2}}}}+6560\le 0\Leftrightarrow {{3}^{2{{x}^{2}}}}-{{3}^{x}}-6560\ge 0$ (1).
Xét hàm số $g\left( x \right)={{3}^{2{{x}^{2}}}}-{{3}^{x}}-6560$ ta có $g'\left( x \right)=4x{{.3}^{2{{x}^{2}}}}\ln 3-{{3}^{x}}\ln 3>0$ với mọi $x\ge 1$.
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1; +\infty \right)$. Hơn nữa $g\left( 2 \right)<0; g\left( 3 \right)>0$ nên tập các số nguyên $x\in \left( 0; 2025 \right)$ thoả mãn (1) là $\left\{ 3; 4; ...; 2024 \right\}$. Vậy có 2022 số thoả mãn yêu cầu bài toán..
Xét hàm số $f\left( y \right)={{3}^{x}}.{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{y}}+\dfrac{6560}{{{3}^{y}}}-{{3}^{2{{x}^{2}}}}$ ta có, $f'\left( y \right)={{3}^{x}}{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{y}}\ln \dfrac{2}{3}-\dfrac{6560.\ln 3}{{{3}^{y}}}<0, \forall y\in \left( -3; 10 \right)$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -3; 10 \right)$.
$f\left( 0 \right)\le 0\Leftrightarrow {{3}^{x}}-{{3}^{2{{x}^{2}}}}+6560\le 0\Leftrightarrow {{3}^{2{{x}^{2}}}}-{{3}^{x}}-6560\ge 0$ (1).
Xét hàm số $g\left( x \right)={{3}^{2{{x}^{2}}}}-{{3}^{x}}-6560$ ta có $g'\left( x \right)=4x{{.3}^{2{{x}^{2}}}}\ln 3-{{3}^{x}}\ln 3>0$ với mọi $x\ge 1$.
Do đó hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1; +\infty \right)$. Hơn nữa $g\left( 2 \right)<0; g\left( 3 \right)>0$ nên tập các số nguyên $x\in \left( 0; 2025 \right)$ thoả mãn (1) là $\left\{ 3; 4; ...; 2024 \right\}$. Vậy có 2022 số thoả mãn yêu cầu bài toán..
Đáp án B.
