Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $x\in (-5;5)$ sao cho ứng với mỗi $x$, tồn tại ít nhất 5 giá trị nguyên của $y\in (-10;10)$ thỏa mãn ${{12.6}^{2y-{{x}^{2}}}}+39.\dfrac{{{35}^{y}}}{{{6}^{{{x}^{2}}}}}\le {{7}^{{{x}^{3}}}}{{.5}^{2y}}.8$ ?
A. 5.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
A. 5.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
Coi $x$ là tham số, $y$ là biến.
Ta có: ${{12.6}^{2y-{{x}^{2}}}}+39.\dfrac{{{35}^{y}}}{{{6}^{{{x}^{2}}}}}\le {{7}^{{{x}^{3}}}}{{.5}^{2y}}.8$ (1)
Nhân cả 2 vế của (1) với ${{6}^{{{x}^{2}}}}$
(1) $\Leftrightarrow {{12.6}^{2y}}+{{39.35}^{y}}\le {{7}^{{{x}^{3}}}}{{.6}^{{{x}^{2}}}}{{.5}^{2y}}.8$ $\Leftrightarrow 12.{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{2y}}+39.{{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{y}}\le {{7}^{{{x}^{3}}}}{{.6}^{{{x}^{2}}}}.8$
$\Leftrightarrow 12.{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{2y}}+39.{{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{y}}-{{7}^{{{x}^{3}}}}{{.6}^{{{x}^{2}}}}.8\le 0$ (1)
Xét hàm số $f(y)=12.{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{2y}}+39.{{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{y}}-{{7}^{{{x}^{3}}}}{{.6}^{{{x}^{2}}}}.8$ trên $(-10;10)$
$f'(y)=12.2.{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{2y}}.\ln \dfrac{6}{5}+39.{{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{y}}.\ln \dfrac{7}{5}>0$ suy ra $f(y)$ đồng biến trên $(-10;10)$
Suy ra tồn tại ít nhất 5 giá trị nguyên của $y\in (-10;10)$
$\Leftrightarrow f(-5)\le 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow 12.{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{-10}}+39.{{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{-5}}-{{7}^{{{x}^{3}}}}{{.6}^{{{x}^{2}}}}.8\le 0$
Sử dụng chức năng table suy ra $x\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$
Ta có: ${{12.6}^{2y-{{x}^{2}}}}+39.\dfrac{{{35}^{y}}}{{{6}^{{{x}^{2}}}}}\le {{7}^{{{x}^{3}}}}{{.5}^{2y}}.8$ (1)
Nhân cả 2 vế của (1) với ${{6}^{{{x}^{2}}}}$
(1) $\Leftrightarrow {{12.6}^{2y}}+{{39.35}^{y}}\le {{7}^{{{x}^{3}}}}{{.6}^{{{x}^{2}}}}{{.5}^{2y}}.8$ $\Leftrightarrow 12.{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{2y}}+39.{{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{y}}\le {{7}^{{{x}^{3}}}}{{.6}^{{{x}^{2}}}}.8$
$\Leftrightarrow 12.{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{2y}}+39.{{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{y}}-{{7}^{{{x}^{3}}}}{{.6}^{{{x}^{2}}}}.8\le 0$ (1)
Xét hàm số $f(y)=12.{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{2y}}+39.{{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{y}}-{{7}^{{{x}^{3}}}}{{.6}^{{{x}^{2}}}}.8$ trên $(-10;10)$
$f'(y)=12.2.{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{2y}}.\ln \dfrac{6}{5}+39.{{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{y}}.\ln \dfrac{7}{5}>0$ suy ra $f(y)$ đồng biến trên $(-10;10)$
Suy ra tồn tại ít nhất 5 giá trị nguyên của $y\in (-10;10)$
$\Leftrightarrow f(-5)\le 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow 12.{{\left( \dfrac{6}{5} \right)}^{-10}}+39.{{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{-5}}-{{7}^{{{x}^{3}}}}{{.6}^{{{x}^{2}}}}.8\le 0$
Sử dụng chức năng table suy ra $x\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$
Đáp án C.