Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc $\left[ -2020 ; 2020 \right]$ sao...

Ta có ${{4}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}-4m{{.2}^{{{x}^{2}}-2x}}+3m-2=0\Leftrightarrow {{4}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}-2m{{.2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}+3m-2=0 \left( 1 \right)$
Đặt $t={{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}\Rightarrow {t}'={{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}.\ln 2.2\left( x-1 \right).$
Ta có ${t}'=0\Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên

Suy ra ứng với mỗi giá trị $t>1$ ta được hai giá trị của $x$ tương ứng.
Khi đó phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành ${{t}^{2}}-2mt+3m-2=0$
Đặt $g\left( t \right)={{t}^{2}}-2mt+3m-2$
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $g\left( t \right)=0$ phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'={{m}^{2}}-\left( 3m-2 \right)>0 \\
& -\dfrac{b}{2a}=m>1 \\
& g\left( 1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow m>2$
Kết hợp điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \left[ -2020 ; 2020 \right] \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow m\in \left\{ 3 ; 4 ;...; 2020 \right\}$.
Vậy có 2018 giá trị của $m$ thỏa mãn.