Google
Câu hỏi: . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc $\left[ -2020;2020 \right]$ sao cho phương trình ${{4}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}-4m{{.2}^{{{x}^{2}}-2x}}+3m-2=0$ có bốn nghiệm phân biệt?
A. $2018$
B. $2022$
C. $2020$
D. $2016$
A. $2018$
B. $2022$
C. $2020$
D. $2016$
Ta có ${{4}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}-4m{{.2}^{{{x}^{2}}-2x}}+3m-2=0\Leftrightarrow {{4}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}-2m{{.2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}+3m-2=0\left( 1 \right)$
Đặt $t={{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}\Rightarrow {t}'={{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}.\ln 2.2\left( x-1 \right)$
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2mt+3m-2=0=g\left( t \right)$
Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình $g\left( t \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'={{m}^{2}}-\left( 3m-2 \right)>0 \\
& g\left( 1 \right)>0 \\
& -\dfrac{b}{2a}=m>1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2$.
Kết hợp điều kiện $m\in \left[ -2020;2010 \right]\Rightarrow m\in \left\{ 3;4;...;2020 \right\}$.
Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn.
Đặt $t={{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}\Rightarrow {t}'={{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}.\ln 2.2\left( x-1 \right)$
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2mt+3m-2=0=g\left( t \right)$
Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình $g\left( t \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {\Delta }'={{m}^{2}}-\left( 3m-2 \right)>0 \\
& g\left( 1 \right)>0 \\
& -\dfrac{b}{2a}=m>1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2$.
Kết hợp điều kiện $m\in \left[ -2020;2010 \right]\Rightarrow m\in \left\{ 3;4;...;2020 \right\}$.
Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn.
Đáp án A.