Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình $\ln 5+\ln...

The Knowledge · 22/2/22

Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình

\ln 5 + \ln (x^{2} + 1) \geq \ln (m x^{2} + 4 x + m)

có tập nghiệm là

R

A. 3
B. 4
C. 1
D. 2

Ta có

1 + \log_{5} (x^{2} + 1) \geq \log_{5} (m x^{2} + 4 x + m) \Leftrightarrow \log_{5} (5 x^{2} + 5) \geq \log_{5} (m x^{2} + 4 x + m)

Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow {\begin{aligned} m x^{2} + 4 x + m > 0 \\ 5 x^{2} + 5 \geq m x^{2} + 4 x + m \end{aligned}; \forall x \in R

\Leftrightarrow {\begin{aligned} f (x) = m x^{2} + 4 x + m > 0; \forall x \in R (1) \\ g (x) = (m - 5) x^{2} + 4 x + m - 5 \leq 0; \forall x \in R (2) \end{aligned}

Giải

(1)

, ta có

f (x) > 0; \forall x \in R \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = m > 0 \\ Δ^{'} = 2^{2} - m^{2} < 0 \end{aligned} \Leftrightarrow m > 2

.
Giải

(2)

, ta có

g (x) \leq 0; \forall x \in R \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = m - 5 < 0 \\ Δ^{'} = 4 - {(m - 5)}^{2} \leq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow m \leq 3

.
Khi đó

2 < m \leq 3

là giá trị cần tìm, kết hợp

m \in Z \overset{}{\to} m = 3

.

Đáp án C.