Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình $\ln 5+\ln...

Ta có $1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 5{{x}^{2}}+5 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
& 5{{x}^{2}}+5\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\
\end{aligned} \right.;\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=m{{x}^{2}}+4x+m>0;\forall x\in \mathbb{R} (1) \\
& g\left( x \right)=\left( m-5 \right){{x}^{2}}+4x+m-5\le 0;\forall x\in \mathbb{R} (2) \\
\end{aligned} \right.$
Giải $\left( 1 \right)$, ta có $f\left( x \right)>0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=m>0 \\
& {\Delta }'={{2}^{2}}-{{m}^{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>2$.
Giải $\left( 2 \right)$, ta có $g\left( x \right)\le 0;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=m-5<0 \\
& {\Delta }'=4-{{\left( m-5 \right)}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 3$.
Khi đó $2<m\le 3$ là giá trị cần tìm, kết hợp $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=3$.