Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left( -20;20 \right)$ để phương trình ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}\left( m-x \right)=2$ có nghiệm thực?

Phương pháp:
- Chuyển vế, đưa phương trình về dạng ${{\log }_{3}}\left( m-x \right)={{\log }_{2}}\dfrac{4}{x}=t.$
- Rút $x,$ đưa về phương trình dạng $m=f\left( t \right).$
- Lập BBT hàm số $f\left( t \right)$ và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Cách giải:
ĐKXĐ: $0<x<m.$
Ta có:
${{\log }_{2}}x+{{\log }_{3}}\left( m-x \right)=2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( m-x \right)=2-{{\log }_{2}}x={{\log }_{2}}\dfrac{4}{x}$
Đặt ${{\log }_{3}}\left( m-x \right)={{\log }_{2}}\dfrac{4}{x}=t\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m-x={{3}^{t}} \\
& \dfrac{4}{x}={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow m-{{3}^{t}}=\dfrac{4}{{{2}^{t}}}\Leftrightarrow m={{3}^{t}}+\dfrac{4}{{{2}^{t}}}=f\left( t \right).$
Ta có $f'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3-\dfrac{4.\ln 2}{{{2}^{t}}}=0\Leftrightarrow {{6}^{t}}\ln 3-4\ln 2=0$
$\Leftrightarrow {{6}^{t}}=4\dfrac{\ln 2}{\ln 3}\Leftrightarrow 4{{\log }_{3}}2\Rightarrow t={{\log }_{6}}\left( 4{{\log }_{3}}2 \right)={{t}_{0}}$
BBT:

Phương trình $m=f\left( t \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge f\left( {{t}_{0}} \right)\approx 4,5.$
Kết hợp điều kiện đề bài và $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 5;6;7;...;19 \right\}.$ Vậy có 15 giá trị của $m$ thỏa mãn.