Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left[ 1;2023 \right]$ để bất phương...

Điều kiện: $x\ge 1$.
Ta có $\left( x-2-m \right).\sqrt{x-1}\le m-4.\Leftrightarrow m\left( 1+\sqrt{x-1} \right)\ge \left( x-2 \right)\sqrt{x-1}+4\Leftrightarrow m\ge \dfrac{\left( x-2 \right)\sqrt{x-1}+4}{1+\sqrt{x-1}}$.
Đặt $t=\sqrt{x-1},t\ge 0$. Bất phương trình trở thành
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{3}}-t+4}{t+1},t\ge 0$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-5}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}},{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=1$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra bất phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge 2$.
Do $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ 1;2023 \right]$ nên $m\in \left\{ 2;3;...;2023 \right\}\Rightarrow $ có $2022$ giá trị $m$ thỏa mãn.