Có bao nhiêu số nguyên $m$ để tồn tại đúng hai cặp số thực $\left(...

Đặt $t=x+y$, giả thiết đầu tiên trở thành
$t(2^{t+7}-1)+(t+8)2^{t-1}=4\iff t(2^{t+8}-1)+(t+8)(2^t-1)=0\iff [\begin{array}{rl}& t=0\\ & t=-8\end{array}$.
Khi đó $x+y=0\left(1\right);x+y=-8\left(2\right)$.
Tập hợp các điểm $(x;y)$ thỏa mãn $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ lần lượt nằm trên 2 đường thẳng
$\left(d_1\right):x+y=0;\left(d_2\right):x+y+8=0.$
Từ giả thiết $\left(2\right)$, ta có: $x+y+\sqrt{2xy+m}=1\iff \sqrt{2xy+m}=1-(x+y)$
$\begin{array}{rl}& \iff 2xy+m=1+x^2+y^2-2x-2y+2xy\\ & \iff x^2+y^2-2x-2y+1-m=0\iff {(x-1)}^2+{(y-1)}^2=m+1\left(3\right)\end{array}$
Tập hợp các điểm thỏa mãn (3) là đường tròn tâm $I(1;1)$ bán kính $R=\sqrt{m+1}$.
Khi đó yêu cầu bài toán $\iff d(I,d_1)<R<d(I,d_2)\iff \sqrt{2}<\sqrt{m+1}<5\sqrt{2}\iff 1<m<49.$
Vậy có 47 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.