Có bao nhiêu số nguyên $m$ để tồn tại đúng hai cặp số thực $\left(...

Đặt $t=x+y$, giả thiết đầu tiên trở thành
$t\left( {{2}^{t+7}}-1 \right)+\left( t+8 \right){{2}^{t-1}}=4\Leftrightarrow t\left( {{2}^{t+8}}-1 \right)+\left( t+8 \right)\left( {{2}^{t}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=-8 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $x+y=0\left( 1 \right);x+y=-8\left( 2 \right)$.
Tập hợp các điểm $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ lần lượt nằm trên 2 đường thẳng
$\left( {{d}_{1}} \right):x+y=0;\left( {{d}_{2}} \right):x+y+8=0.$
Từ giả thiết $\left( 2 \right)$, ta có: $x+y+\sqrt{2xy+m}=1\Leftrightarrow \sqrt{2xy+m}=1-\left( x+y \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 2xy+m=1+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y+2xy \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y+1-m=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=m+1\left( 3 \right) \\
\end{aligned}$
Tập hợp các điểm thỏa mãn (3) là đường tròn tâm $I\left( 1;1 \right)$ bán kính $R=\sqrt{m+1}$.
Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow d\left( I,{{d}_{1}} \right)<R<d\left( I,{{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow \sqrt{2}<\sqrt{m+1}<5\sqrt{2}\Leftrightarrow 1<m<49.$
Vậy có 47 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.