Có bao nhiêu số nguyên $m$ để tập nghiệm của bất phương trình...

Ta có: ${{\log }_{3}}\left( 3x+m \right)>3{{\log }_{3}}x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 3x+m>{{x}^{3}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{x}^{3}}-3x-m<0 \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x-m$ trên $\left( 0 ; +\infty \right)$
Có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( 3x+m \right)>3{{\log }_{3}}x$ chứa đúng $2$ số nguyên chỉ xảy ra khi tập nghiệm của bất phương trình có dạng $\left( 0 ; a \right)$ và $2<a\le 3$ hay $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 2 \right)<0 \\
& f\left( 3 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2-m<0 \\
& 18-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m\le 18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 18$.
Vậy có $16$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.