Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình...

Ta có ${27}^x-3^{2x+1}-\ln (-m+\sqrt{m^2+1})=0\iff \ln (-m+\sqrt{m^2+1})=3^{3x}-{3.3}^{2x}$
Đặt $t=3^x>0$. Ứng với mỗi giá trị $t>0$ cho ta 1 giá trị của $x$.
Phương trình trở thành $\ln (-m+\sqrt{m^2+1})=t^3-3t^2$.
Xét hàm số $f(t)=t^3-3t^2,f^{\prime }(t)=3t^2-6t$. Ta có $f^{\prime }(t)=0\iff 3t^2-6t=0\iff [\begin{array}{rl}& t=0\\ & t=2\end{array}$
Lập bảng biến thiên của $f(t)=t^3-3t^2$, $t>0$
Suy ra phương trình ${27}^x-3^{2x+1}-\ln (-m+\sqrt{m^2+1})=0$ có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $\{\begin{array}{rl}& \ln (-m+\sqrt{m^2+1})>-4\\ & \ln (-m+\sqrt{m^2+1})<0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& -m+\sqrt{m^2+1}>{\displaystyle \frac{1}{e^4}}\\ & -m+\sqrt{m^2+1}<1\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& \sqrt{m^2+1}>{\displaystyle \frac{1}{e^4}}+m\\ & \sqrt{m^2+1}<1+m\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m<{\displaystyle \frac{e^8-1}{2e^4}}\\ & m>0\end{array}$
$\iff 0<m<{\displaystyle \frac{e^8-1}{2e^4}}\approx 27,2$. Vậy có 27 giá trị thỏa mãn.