Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình...

Ta có ${{27}^{x}}-{{3}^{2x+1}}-\ln \left( -m+\sqrt{{{m}^{2}}+1} \right)=0\Leftrightarrow \ln \left( -m+\sqrt{{{m}^{2}}+1} \right)={{3}^{3x}}-{{3.3}^{2x}}$
Đặt $t={{3}^{x}}>0$. Ứng với mỗi giá trị $t>0$ cho ta 1 giá trị của $x$.
Phương trình trở thành $\ln \left( -m+\sqrt{{{m}^{2}}+1} \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}$.
Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}, {f}'(t)=3{{t}^{2}}-6t$. Ta có ${f}'(t)=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.$
Lập bảng biến thiên của $f(t)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}$, $t>0$
Suy ra phương trình ${{27}^{x}}-{{3}^{2x+1}}-\ln \left( -m+\sqrt{{{m}^{2}}+1} \right)=0$ có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& \ln \left( -m+\sqrt{{{m}^{2}}+1} \right)>-4 \\
& \ln \left( -m+\sqrt{{{m}^{2}}+1} \right)<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -m+\sqrt{{{m}^{2}}+1}>\dfrac{1}{{{e}^{4}}} \\
& -m+\sqrt{{{m}^{2}}+1}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{{{m}^{2}}+1}>\dfrac{1}{{{e}^{4}}}+m \\
& \sqrt{{{m}^{2}}+1}<1+m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{{{e}^{8}}-1}{2{{e}^{4}}} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{{{e}^{8}}-1}{2{{e}^{4}}}\approx 27,2$. Vậy có 27 giá trị thỏa mãn.