Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}\dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1}={{x}^{2}}-5x+2-m$
Có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$.
A. $3$.
B. Vô số.
C. $2$.
D. $4$.
Có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$.
A. $3$.
B. Vô số.
C. $2$.
D. $4$.
Điều kiện: $3{{x}^{2}}+3x+m+1>0$.
- Ta có:
${{\log }_{2}}\dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1}={{x}^{2}}-5x+2-m$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1} \right)-1={{x}^{2}}-5x+1-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{4{{x}^{2}}-2x+2}={{x}^{2}}-5x+1-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)=\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)-\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)+\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)={{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)+\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)$ $\left( 1 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t$ trên $D=\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t.\ln 2}>0$, $\forall t\in D$,
Do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $D$
$\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)=f\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)$
$\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-2x+2=3{{x}^{2}}+3x+m+1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x=m-1$ $\left( 2 \right)$.
- Xét hàm số: $g\left( x \right)={{x}^{2}}-5x$ trên $\mathbb{R}$, có ${g}'\left( x \right)=2x-5\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$.
- Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên ta thấy: phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$ khi và chỉ khi $-\dfrac{25}{4}<m-1<-4$ $\Leftrightarrow -\dfrac{21}{4}<m<-3$, do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -5;-4 \right\}$, hay có $2$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Ta có:
${{\log }_{2}}\dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1}={{x}^{2}}-5x+2-m$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1} \right)-1={{x}^{2}}-5x+1-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{4{{x}^{2}}-2x+2}={{x}^{2}}-5x+1-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)=\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)-\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)+\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)={{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)+\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)$ $\left( 1 \right)$
Xét hàm số: $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t$ trên $D=\left( 0;+\infty \right)$, có ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t.\ln 2}>0$, $\forall t\in D$,
Do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $D$
$\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)=f\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)$
$\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-2x+2=3{{x}^{2}}+3x+m+1$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x=m-1$ $\left( 2 \right)$.
- Xét hàm số: $g\left( x \right)={{x}^{2}}-5x$ trên $\mathbb{R}$, có ${g}'\left( x \right)=2x-5\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$.
- Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên ta thấy: phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$ khi và chỉ khi $-\dfrac{25}{4}<m-1<-4$ $\Leftrightarrow -\dfrac{21}{4}<m<-3$, do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -5;-4 \right\}$, hay có $2$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.