Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình ${{\log }_{3}}\left(...

Đặt ${{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)=t\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}+2m={{3}^{t}} \\
& {{3}^{x}}-{{m}^{2}}={{5}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow 2m+{{m}^{2}}={{3}^{t}}-{{5}^{t}}$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1$ (*).
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1$ với $t\in \mathbb{R}$.
Ta có: ${f}'\left( t \right)={{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5$.
Khi đó ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5=0\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}=\dfrac{\ln 5}{\ln 3}\Leftrightarrow t={{\log }_{\dfrac{3}{5}}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)={{t}_{0}}$.
Bảng biến thiên

Phương trình (*) có nghiệm
$\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\le f\left( {{t}_{0}} \right)\Leftrightarrow -\sqrt{f\left( {{t}_{0}} \right)}-1\le m\le \sqrt{f\left( {{t}_{0}} \right)}-1\Rightarrow -2,068\le m\le 0,068$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2; -1; 0 \right\}$.
Vậy có $3$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.