Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình ${{\log }_{3}}\left(...

The Professor · 19/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên

m

để phương trình

\log_{3} (3^{x} + 2 m) = \log_{5} (3^{x} - m^{2})

có nghiệm?
A.

3

.
B.

4

.
C.

2

.
D.

5

.

Đặt

\log_{3} (3^{x} + 2 m) = \log_{5} (3^{x} - m^{2}) = t \Rightarrow {\begin{aligned} 3^{x} + 2 m = 3^{t} \\ 3^{x} - m^{2} = 5^{t} \end{aligned}

\Rightarrow 2 m + m^{2} = 3^{t} - 5^{t}

\Leftrightarrow m^{2} + 2 m + 1 = 3^{t} - 5^{t} + 1

(*).
Xét hàm số

f (t) = 3^{t} - 5^{t} + 1

với

t \in R

.
Ta có:

f^{'} (t) = 3^{t} . \ln 3 - 5^{t} . \ln 5

.
Khi đó

f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 3^{t} . \ln 3 - 5^{t} . \ln 5 = 0 \Leftrightarrow {(\frac{3}{5})}^{t} = \frac{\ln 5}{\ln 3} \Leftrightarrow t = \log_{\frac{3}{5}} (\log_{3} 5) = t_{0}

.
Bảng biến thiên

Phương trình (*) có nghiệm

\Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} \leq f (t_{0}) \Leftrightarrow - \sqrt{f (t_{0})} - 1 \leq m \leq \sqrt{f (t_{0})} - 1 \Rightarrow - 2, 068 \leq m \leq 0, 068

.
Do

m \in Z \Rightarrow m \in {- 2; - 1; 0}

.
Vậy có

3

giá trị nguyên của

m

thỏa mãn.

Đáp án A.

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ${{\log }_{3}}\left(...