Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-3x+2m \right)={{\log }_{2}}\left( x+m \right)$ có nghiệm?

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-3x+2m>0 \\
& x+m>0 \\
\end{aligned} \right.\left( 1 \right).$
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-3x+2m \right)={{\log }_{2}}\left( x+m \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2m=x+m$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+m=0\Leftrightarrow m=-{{x}^{2}}+4x.$
Thay $m=-{{x}^{2}}+4x$ vào $\left( 1 \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-3x+2\left( -{{x}^{2}}+4x \right)>0 \\
& x-{{x}^{2}}+4x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+5x>0\Leftrightarrow 0<x<5.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+4x$ trên $\left( 0;5 \right).$
$f'\left( x \right)=-2x+4;f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2.$
Bảng biến thiên

Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow -5<m\le 4.$
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\}.$