Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ${{9.3}^{2x}}-m\left(...

Phương trình đã cho trở thành: ${{9.3}^{2x}}-m\left[ 4\sqrt{\left| x+1 \right|}+3\left( m+1 \right) \right]{{.3}^{x}}+1=0$
$\Leftrightarrow {{9.3}^{x}}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}}=m\left[ 4\sqrt{\left| x+1 \right|}+3\left( m+1 \right) \right]\Leftrightarrow {{3}^{x+2}}+{{3}^{-x}}=m\left[ 4\sqrt{\left| x+1 \right|}+3\left( m+1 \right) \right]$ $\left( * \right)$
Nhận thấy ${{x}_{0}}$ là nghiệm của $\left( * \right)$ thì $-{{x}_{0}}-2$ cũng là nghiệm
Do đó ${{x}_{0}}=-{{x}_{0}}-2\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1$ là nghiệm của $\left( * \right)\to 6=3m\left( m+1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$
TH1: Với $m=1$, ta được ${{9.3}^{x}}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}}=4\sqrt{x+1}+6\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x+1}}-1 \right)}^{2}}={{4.3}^{x}}\sqrt{\left| x+1 \right|}$
Do đó phương trình có ba nghiệm $x=-2$ ; $x=0$ ; $x=-1$.
TH2: Với $m=-2$, ta được ${{9.3}^{x}}+\dfrac{1}{{{3}^{x}}}=-8\sqrt{x+1}+6\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x+1}}-1 \right)}^{2}}={{8.3}^{x}}\sqrt{\left| x+1 \right|}=0\Leftrightarrow x=-1$
Vậy $m=1$ là giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn bài toán.