Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( m+2 \right)x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $2$.
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $2$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3m+6$.
Để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( m+2 \right)x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì ${y}'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+3m+6\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& {\Delta }'\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-3\left( 3m+6 \right)\le 0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-9m-18\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 2$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -1; 0;1; 2 \right\}$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3m+6$.
Để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( m+2 \right)x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì ${y}'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+3m+6\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& {\Delta }'\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-3\left( 3m+6 \right)\le 0\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-9m-18\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 2$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -1; 0;1; 2 \right\}$.
Đáp án B.