Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y=5{{x}^{6}}+18m{{x}^{5}}+15\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right){{x}^{4}}+1$ chỉ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại?
A. $28$.
B. $27$.
C. $25$.
D. $26$.
A. $28$.
B. $27$.
C. $25$.
D. $26$.
Ta có: ${y}'=30{{x}^{5}}+90m{{x}^{4}}+60\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right){{x}^{3}}=30{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+3mx+2\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right) \right)$.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& g(x)={{x}^{2}}+3mx+2\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)=0 \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình $\left( 1 \right)$ :
$\Delta =9{{m}^{2}}-8\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)={{m}^{2}}+24m-16$.
Trường hợp 1: $\Delta \le 0\Leftrightarrow -12-4\sqrt{10}\le m\le -12+4\sqrt{10}$. Khi đó $g\left( x \right)\ge 0,\forall x$.
Khi đó ${y}'=30{{x}^{3}}g\left( x \right)$ chỉ đổi dấu khi qua $x=0$. Khi đó ${y}'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$. Suy ra hàm số đã cho chỉ có điềm cực tiểu mà không có điểm cực đại (thoả mãn).
Các số nguyên $m$ thoả mãn trường hợp này là $m\in \left\{ -24,\ldots ,0 \right\}$.
Trường hợp 2: $\Delta >0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-12-4\sqrt{10} \\
& m>-12+4\sqrt{10} \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ khác 0 $\Rightarrow {y}'=30{{x}^{3}}\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)$ có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 3 nghiệm đó nên hàm số đã cho có cả điềm cực tiểu và điểm cực đại (không thoả mãn).
Nếu $g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}=0\ne {{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& g(0)=2\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {y}'=30{{x}^{4}}\left( x-{{x}_{2}} \right) $ chỉ đổi dấu khi qua $ x={{x}_{2}} $. Khi đó $ {y}' $ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $ x={{x}_{2}}$ (thoả mãn).
Vậy tất cả 27 các số nguyên $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& g(x)={{x}^{2}}+3mx+2\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)=0 \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Xét phương trình $\left( 1 \right)$ :
$\Delta =9{{m}^{2}}-8\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)={{m}^{2}}+24m-16$.
Trường hợp 1: $\Delta \le 0\Leftrightarrow -12-4\sqrt{10}\le m\le -12+4\sqrt{10}$. Khi đó $g\left( x \right)\ge 0,\forall x$.
Khi đó ${y}'=30{{x}^{3}}g\left( x \right)$ chỉ đổi dấu khi qua $x=0$. Khi đó ${y}'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$. Suy ra hàm số đã cho chỉ có điềm cực tiểu mà không có điểm cực đại (thoả mãn).
Các số nguyên $m$ thoả mãn trường hợp này là $m\in \left\{ -24,\ldots ,0 \right\}$.
Trường hợp 2: $\Delta >0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-12-4\sqrt{10} \\
& m>-12+4\sqrt{10} \\
\end{aligned} \right.$
Nếu $g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ khác 0 $\Rightarrow {y}'=30{{x}^{3}}\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)$ có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 3 nghiệm đó nên hàm số đã cho có cả điềm cực tiểu và điểm cực đại (không thoả mãn).
Nếu $g\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}=0\ne {{x}_{2}}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& g(0)=2\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow {y}'=30{{x}^{4}}\left( x-{{x}_{2}} \right) $ chỉ đổi dấu khi qua $ x={{x}_{2}} $. Khi đó $ {y}' $ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $ x={{x}_{2}}$ (thoả mãn).
Vậy tất cả 27 các số nguyên $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.