Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số...

Ta có: $y^{\prime }=30x^5+90m{x}^4+60(m^2-3m+2)x^3=30x^3(x^2+3mx+2(m^2-3m+2))$.
$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & g(x)=x^2+3mx+2(m^2-3m+2)=0\left(1\right)\end{array}$.
Xét phương trình $\left(1\right)$ :
$\mathrm{\Delta }=9m^2-8(m^2-3m+2)=m^2+24m-16$.
Trường hợp 1: $\mathrm{\Delta }\le 0\iff -12-4\sqrt{10}\le m\le -12+4\sqrt{10}$. Khi đó $g\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x$.
Khi đó $y^{\prime }=30x^{3}g\left(x\right)$ chỉ đổi dấu khi qua $x=0$. Khi đó $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$. Suy ra hàm số đã cho chỉ có điềm cực tiểu mà không có điểm cực đại (thoả mãn).
Các số nguyên $m$ thoả mãn trường hợp này là $m\in \{-24,\dots ,0\}$.
Trường hợp 2: $\mathrm{\Delta }>0\iff [\begin{array}{rl}& m<-12-4\sqrt{10}\\ & m>-12+4\sqrt{10}\end{array}$
Nếu $g\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khác 0 $\Rightarrow y^{\prime }=30x^3(x-x_1)(x-x_2)$ có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 3 nghiệm đó nên hàm số đã cho có cả điềm cực tiểu và điểm cực đại (không thoả mãn).
Nếu $g\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1=0\ne x_2$ $\iff \{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }>0\\ & g(0)=2(m^2-3m+2)=0\end{array}$$\iff [\begin{array}{rl}& m=1\\ & m=2\end{array}$$\Rightarrow y^{\prime }=30x^4(x-x_2)$ chỉ đổi dấu khi qua $x=x_2$. Khi đó $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=x_2$ (thoả mãn).
Vậy tất cả 27 các số nguyên $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.