Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f\left( x...

Ta có $f\left( x \right)=3x+m\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3+\dfrac{mx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\Rightarrow {f}''\left( x \right)=\dfrac{m}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{3}}}$.
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( x \right)=m+3$, $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} {f}'\left( x \right)=-m+3$.
Trường hợp 1: $m>0$, khi đó ${f}''\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0 \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -m+3\ge 0\Leftrightarrow m\le 3$.
So điều kiện: $0<m\le 3$.
Trường hợp 2: $m<0$, khi đó ${f}''\left( x \right)<0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\Rightarrow {f}'\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\ge 0 \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m+3\ge 0\Leftrightarrow m\ge -3$.
So điều kiện: $-3\le m<0$.
Trường hợp 3: $m=0$, khi đó $f\left( x \right)=3x$, hiển nhiên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Kết luận: hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow $ $-3\le x\le 3$.