Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên m để GTNN của hàm số $y=f\left( x \right)=\left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+m \right|$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 23.
B. 24.
C. 25.
D. 26.
A. 23.
B. 24.
C. 25.
D. 26.
Ta có: $y=f\left( x \right)=\left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+m \right|=\left| {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}-m \right|=\left| {{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{2}}-16-m \right|.$
Đặt $t=\left( {{x}^{2}}-4 \right),$ vì $x\in \left[ -1;3 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;25 \right].$
Khi đó $y=g\left( t \right)=\left| t-16-m \right|.$
Ta có $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\underset{\left[ 0;25 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=\min \left\{ \left| m-9 \right|;\left| m+16 \right| \right\}.$
Nếu $m-9\ge 0\Leftrightarrow m\ge 9,$ khi đó $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m-9\ge 0,$ khi đó $\min \left( \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right)=0,$ khi $m=9.$
Nếu $m+16\ge 0\Leftrightarrow m\ge -16,$ $\Leftrightarrow \underset{x\in \left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-m-16\ge 0,$ $\min \left( \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right)=0,$ khi $m=-16.$
Nếu $\left( m-9 \right)\left( m+16 \right)<0\Leftrightarrow -16<m<9,$ khi đó $\underset{x\in \left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=0,$ khi đó $\min \left( \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right)=0$
Vậy $\min \left( \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right)=0,$ khi $-16\le m\le 9.$
Vì $m\in \mathbb{Z},$ nên có 26 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $t=\left( {{x}^{2}}-4 \right),$ vì $x\in \left[ -1;3 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;25 \right].$
Khi đó $y=g\left( t \right)=\left| t-16-m \right|.$
Ta có $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\underset{\left[ 0;25 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=\min \left\{ \left| m-9 \right|;\left| m+16 \right| \right\}.$
Nếu $m-9\ge 0\Leftrightarrow m\ge 9,$ khi đó $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m-9\ge 0,$ khi đó $\min \left( \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right)=0,$ khi $m=9.$
Nếu $m+16\ge 0\Leftrightarrow m\ge -16,$ $\Leftrightarrow \underset{x\in \left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-m-16\ge 0,$ $\min \left( \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right)=0,$ khi $m=-16.$
Nếu $\left( m-9 \right)\left( m+16 \right)<0\Leftrightarrow -16<m<9,$ khi đó $\underset{x\in \left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=0,$ khi đó $\min \left( \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right)=0$
Vậy $\min \left( \underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right) \right)=0,$ khi $-16\le m\le 9.$
Vì $m\in \mathbb{Z},$ nên có 26 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.