Có bao nhiêu số nguyên $m$ để bất phương trình $x^2+\left(m^3-4...

*) Ta có: $x^2+\left(m^3-4 m\right) x \geq m \ln \left(x^2+1\right) \Leftrightarrow x^2+\left(m^3-4 m\right) x-m \ln \left(x^2+1\right) \geq 0$
Xét hàm số $(C): f(x)=x^2+\left(m^3-4 m\right) x-m \ln \left(x^2+1\right)$ có $f^{\prime}(x)=2 x+m^3-4 m-\dfrac{2 m x}{x^2+1}$.
Để (1) nghiệm đúng với mọi số thực $x$ thì $(C)$ phải nằm hoàn toàn phía trên trục $O x$ (có thể có điểm chung với trục) $O x$. Mà ta dễ thấy đồ thị hàm số $f(x)$ và trục $O x$ có điểm chung là gốc tọa độ $O$ nên điều kiền cần phải có là trục $O x$ phải là tiếp tuyến của $(C)$ tại $O$. Suy ra:
$
f^{\prime}(0)=0 \Leftrightarrow m^3-4 m=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
m=0 \\
m= \pm 2
\end{array}\right. \text {. }
$
*) Thử lại:
- Với $m=0$ thì (1) $\Leftrightarrow x^2 \geq 0$ điều này nghiệm đúng với mọi số thực $x$, nên $m=0$ thỏa mãn.
- Với $m=2$ thì (1) $\Leftrightarrow x^2-2 \ln \left(x^2+1\right) \geq 0$ không thỏa mãn với $x=1$, nên loại trường hợp này.
- Với $m=-2$ thì (1) $\Leftrightarrow x^2+2 \ln \left(x^2+1\right) \geq 0$ dễ thấy điều này nghiệm đúng với mọi số thực $x$, nên $m=-2$ thỏa mãn.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m=0, m=-2$.