Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình ${{\log...

Điều kiện xác định $\dfrac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1}>0$.
Để tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$ thì điều kiện xác định được thỏa mãn với mọi giá trị thực x.
Do $2{{x}^{2}}-x+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $3{{x}^{2}}+3x+m+1>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow m>\dfrac{-1}{4}$ (1).
Với điều kiện bất phương trình đã cho tương đương
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)<{{x}^{2}}-5x+2-m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)+\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)<{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)+1+4{{x}^{2}}-2x+2$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)+\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)<{{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)+4{{x}^{2}}-2x+2$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0,\forall t>0$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Như vậy $f\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)<f\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3x+m+1<4{{x}^{2}}-2x+2$
$\Leftrightarrow m<{{x}^{2}}-5x+1$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}-5x+1$
Vậy để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x thì $m<\dfrac{-21}{4}$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.