Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá $10$ số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{3}^{x+1}}-\sqrt{3} \right)\left( {{3}^{x}}-y \right)<0$ ?
A. $59149$.
B. $59050$.
C. $59049$.
D. $59048$
A. $59149$.
B. $59050$.
C. $59049$.
D. $59048$
Đặt $t={{3}^{x}} \left( t>0 \right)$ thì ta có bất phương trình $\left( 3t-\sqrt{3} \right)\left( t-y \right)<0\Leftrightarrow \left( t-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)\left( t-y \right)<0 \left( 1 \right)$
Vì $y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $y>\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, do đó bất PT (1) $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}<t<y\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}<{{3}^{x}}<y\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<x<{{\log }_{3}}y $.
Do mỗi giá trị $y\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ có không quá $10$ số nguyên của $x\in \left( -\dfrac{1}{2}; {{\log }_{3}}y \right)$ nên $0\le {{\log }_{3}}y\le 10\Leftrightarrow 1\le y\le {{3}^{20}}=59049$.
Suy ra $y\in \left\{ 1; 2;3....; 59049 \right\}$.
Vậy có $59049$ giá trị nguyên dương của $y$.
Vì $y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $y>\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, do đó bất PT (1) $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}<t<y\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{3}<{{3}^{x}}<y\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<x<{{\log }_{3}}y $.
Do mỗi giá trị $y\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ có không quá $10$ số nguyên của $x\in \left( -\dfrac{1}{2}; {{\log }_{3}}y \right)$ nên $0\le {{\log }_{3}}y\le 10\Leftrightarrow 1\le y\le {{3}^{20}}=59049$.
Suy ra $y\in \left\{ 1; 2;3....; 59049 \right\}$.
Vậy có $59049$ giá trị nguyên dương của $y$.
Đáp án C.