Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không...

Điều kiện: $x>0$.
Ta có ${{x}^{2}}-\left( y+3 \right)x+3y<\left( y-x \right){{\log }_{2}}x$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-xy-3x+3y-\left( y-x \right){{\log }_{2}}x<0$
$\Leftrightarrow x\left( x-y \right)-3\left( x-y \right)+\left( x-y \right){{\log }_{2}}x<0$
$\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( x-3+{{\log }_{2}}x \right)<0$ $\left( 1 \right)$.
Xét $x-3+{{\log }_{2}}x>0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x>3-x$ $\left( 2 \right)$.
Vì $f\left( x \right)={{\log }_{2}}x$ là hàm đồng biến, $g\left( x \right)=3-x$ là hàm nghịch biến.
Nên với $x>2$ ta có $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)>1 \\
& g\left( x \right)<1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x>2 $ là nghiệm của $ \left( 2 \right)$.
Vậy $\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x-y>0 \\
& x-3+{{\log }_{2}}x<0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x-y<0 \\
& x-3+{{\log }_{2}}x>0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x>y \\
& x<2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x<y \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 3 \right)$.
Do đó ta có:
+) Với $0<y<2$ thì $\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow y<x<2$ $\Rightarrow \left( 1 \right)$ có không có nghiệm $x$ nguyên do y nguyên.
+) Với $y=2$ thì $\left( 3 \right)$ vô nghiệm $\Rightarrow \left( 1 \right)$ không có nghiệm $x$ nguyên.
+) Với $y>2$ thì $\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow 2<x<y$ $\Rightarrow $ $\left( 1 \right)$ có tối đa $y-3$ nghiệm $x$ nguyên.
Để $\left( 1 \right)$ có không quá $2019$ nghiệm $x$ nguyên thì $y-3\le 2019\Leftrightarrow y\le 2022$.
Vậy với $0<y\le 2022$ thì bất phương trình ${{x}^{2}}-\left( y+3 \right)x+3y<\left( y-x \right){{\log }_{2}}x$ có không quá $2019$ nghiệm $x$ nguyên.