Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không...

Điều kiện: $x>0$.
Ta có $x^2-(y+3)x+3y<(y-x){\log }_{2}x$ $\iff x^2-xy-3x+3y-(y-x){\log }_{2}x<0$
$\iff x(x-y)-3(x-y)+(x-y){\log }_{2}x<0$
$\iff (x-y)(x-3+{\log }_{2}x)<0$ $\left(1\right)$.
Xét $x-3+{\log }_{2}x>0\iff {\log }_{2}x>3-x$ $\left(2\right)$.
Vì $f\left(x\right)={\log }_{2}x$ là hàm đồng biến, $g\left(x\right)=3-x$ là hàm nghịch biến.
Nên với $x>2$ ta có $\{\begin{array}{rl}& f\left(x\right)>1\\ & g\left(x\right)<1\end{array}\Rightarrow x>2$ là nghiệm của $\left(2\right)$.
Vậy $\left(1\right)$ $\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& x-y>0\\ & x-3+{\log }_{2}x<0\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& x-y<0\\ & x-3+{\log }_{2}x>0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& x>y\\ & x<2\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& x<y\\ & x>2\end{array}\end{array}$ $\left(3\right)$.
Do đó ta có:
+) Với $0<y<2$ thì $\left(3\right)$ $\iff y<x<2$ $\Rightarrow \left(1\right)$ có không có nghiệm $x$ nguyên do y nguyên.
+) Với $y=2$ thì $\left(3\right)$ vô nghiệm $\Rightarrow \left(1\right)$ không có nghiệm $x$ nguyên.
+) Với $y>2$ thì $\left(3\right)$ $\iff 2<x<y$ $\Rightarrow$ $\left(1\right)$ có tối đa $y-3$ nghiệm $x$ nguyên.
Để $\left(1\right)$ có không quá $2019$ nghiệm $x$ nguyên thì $y-3\le 2019\iff y\le 2022$.
Vậy với $0<y\le 2022$ thì bất phương trình $x^2-(y+3)x+3y<(y-x){\log }_{2}x$ có không quá $2019$ nghiệm $x$ nguyên.