Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi giá trị của $y$ có không quá 5 số nguyên $x$ thoả mãn bất phương trình $\left( {{5}^{x}}-1 \right)\left( {{2.5}^{x}}-y \right)\le 0$.
A. $1250$.
B. $1251$.
C. $1252$.
D. $625$.
A. $1250$.
B. $1251$.
C. $1252$.
D. $625$.
Đặt $t={{5}^{x}}>0$. Bất phương trình trở thành: $\left( t-1 \right)\left( 2t-y \right)\le 0$ hay $\left( t-1 \right)\left( t-\dfrac{y}{2} \right)\le 0 \left( * \right)$
+) TH1: $0<\dfrac{y}{2}\le 1\Leftrightarrow 0<y\le 2$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{y}{2}\le t\le 1\Leftrightarrow \dfrac{y}{2}\le {{5}^{x}}\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{y}{2}\le x\le 0\Leftrightarrow x=0$ Có 1 nghiệm nên thoả mãn.
+) TH2: $\dfrac{y}{2}>1\Leftrightarrow y>2$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{y}{2}\ge t\ge 1\Leftrightarrow \dfrac{y}{2}\ge {{5}^{x}}\ge 1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{y}{2}\ge x\ge 0$. Theo yêu cầu đầu bài có không qua 5 số nguyên $x$ thoả mãn. Vậy $x$ chỉ có thể lấy tối đa từ $0$ đến $4$ hay
${{\log }_{5}}\dfrac{y}{2}\le 4\Leftrightarrow 1<\dfrac{y}{2}\le {{5}^{4}}=625\Leftrightarrow 2<y\le 1250$.
=>Cả hai trường hợp : $y=\left\{ 1;2;....;1250 \right\}$ có 1250 số thoả mãn.
+) TH1: $0<\dfrac{y}{2}\le 1\Leftrightarrow 0<y\le 2$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{y}{2}\le t\le 1\Leftrightarrow \dfrac{y}{2}\le {{5}^{x}}\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{y}{2}\le x\le 0\Leftrightarrow x=0$ Có 1 nghiệm nên thoả mãn.
+) TH2: $\dfrac{y}{2}>1\Leftrightarrow y>2$ khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{y}{2}\ge t\ge 1\Leftrightarrow \dfrac{y}{2}\ge {{5}^{x}}\ge 1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{y}{2}\ge x\ge 0$. Theo yêu cầu đầu bài có không qua 5 số nguyên $x$ thoả mãn. Vậy $x$ chỉ có thể lấy tối đa từ $0$ đến $4$ hay
${{\log }_{5}}\dfrac{y}{2}\le 4\Leftrightarrow 1<\dfrac{y}{2}\le {{5}^{4}}=625\Leftrightarrow 2<y\le 1250$.
=>Cả hai trường hợp : $y=\left\{ 1;2;....;1250 \right\}$ có 1250 số thoả mãn.
Đáp án A.