Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi giá trị của...

Đặt $t=5^x>0$. Bất phương trình trở thành: $(t-1)(2t-y)\le 0$ hay $(t-1)(t-{\displaystyle \frac{y}{2}})\le 0(\ast )$
+) TH1: $0<{\displaystyle \frac{y}{2}}\le 1\iff 0<y\le 2$ khi đó $(\ast )\iff {\displaystyle \frac{y}{2}}\le t\le 1\iff {\displaystyle \frac{y}{2}}\le 5^x\le 1\iff {\log }_5{\displaystyle \frac{y}{2}}\le x\le 0\iff x=0$ Có 1 nghiệm nên thoả mãn.
+) TH2: ${\displaystyle \frac{y}{2}}>1\iff y>2$ khi đó $(\ast )\iff {\displaystyle \frac{y}{2}}\ge t\ge 1\iff {\displaystyle \frac{y}{2}}\ge 5^x\ge 1\iff {\log }_5{\displaystyle \frac{y}{2}}\ge x\ge 0$. Theo yêu cầu đầu bài có không qua 5 số nguyên $x$ thoả mãn. Vậy $x$ chỉ có thể lấy tối đa từ $0$ đến $4$ hay
${\log }_5{\displaystyle \frac{y}{2}}\le 4\iff 1<{\displaystyle \frac{y}{2}}\le 5^4=625\iff 2<y\le 1250$.
=>Cả hai trường hợp : $y=\{1;2;....;1250\}$ có 1250 số thoả mãn.