Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho tồn tại số thực $x\in \left( 1;6 \right)$ thỏa mãn $4\left( x-1 \right){{e}^{x}}=y\left( {{e}^{x}}+xy-2{{x}^{2}}-3 \right)$ ?
A. $18$.
B. $15$.
C. $16$.
D. $17$.
A. $18$.
B. $15$.
C. $16$.
D. $17$.
Ta có $4\left( x-1 \right){{e}^{x}}=y\left( {{e}^{x}}+xy-2{{x}^{2}}-3 \right)$ $\Leftrightarrow 4\left( x-1 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+xy-2{{x}^{2}}-3 \right)=0 \left( * \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=4\left( x-1 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+xy-2{{x}^{2}}-3 \right)$ trên $\left( 1;6 \right)$.
${f}'\left( x \right)=4{{e}^{x}}+4\left( x-1 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+y-4x \right)$ $=4x{{e}^{x}}-y{{e}^{x}}+y\left( 4x-y \right)$ $=\left( 4x-y \right)\left( {{e}^{x}}+y \right)$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 4x-y \right)\left( {{e}^{x}}+y \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{y}{4}$ (do ${{e}^{x}}+y>0$, $\forall y\in \mathbb{N}*$ ).
Trường hợp 1: $\dfrac{y}{4}\le 1\Leftrightarrow y\le 4$
Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( 1;6 \right)$ :
$f\left( 1 \right)=-y\left( e+y-5 \right)$ ; $f\left( 6 \right)=20{{e}^{6}}-y\left( {{e}^{6}}+6y-75 \right)=-6{{y}^{2}}+\left( 75-{{e}^{6}} \right)y+20{{e}^{6}}$.
Ta có $f\left( 6 \right)>0\Leftrightarrow -6{{y}^{2}}+\left( 75-{{e}^{6}} \right)y+20{{e}^{6}}>0\Leftrightarrow -72,1<y<18,4$.
Suy ra $\forall y\in \mathbb{N}*,y\le 4,$ thì $f\left( 6 \right)>0$.
Do đó phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x\in \left( 1;6 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow e+y-5>0\Leftrightarrow y>5-e\approx 2,3$.
Cùng điều kiện $y\le 4$ và $y$ nguyên dương, ta có $y\in \left\{ 3;4 \right\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2: $\dfrac{y}{4}\ge 6\Leftrightarrow y\ge 24$.
Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( 1;6 \right)$ :
Với $y\ge 24$ ta luôn có $f\left( 1 \right)=-y\left( e+y-5 \right)<0$ nên không tồn tại $x\in \left( 1;6 \right)$ thỏa mãn $\left( * \right)$.
Trường hợp 3: $1<\dfrac{y}{4}<6\Leftrightarrow 4<y<24$.
Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( 1;6 \right)$ :
Với $y\in \left( 4;24 \right)$ ta luôn có $f\left( 1 \right)=-y\left( e+y-5 \right)<0$ nên phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x\in \left( 1;6 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( 6 \right)>0$ $\Leftrightarrow -72,1<y<18,4$.
Cùng điều kiện $y\in \left( 4;24 \right)$ và $y$ nguyên dương ta có $y\in \left\{ 5;6;...;18 \right\}$.
Do đó, tập các giá trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\left\{ 3;4;....;18 \right\}$.
Vậy có $16$ giá trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Xét hàm số $f\left( x \right)=4\left( x-1 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+xy-2{{x}^{2}}-3 \right)$ trên $\left( 1;6 \right)$.
${f}'\left( x \right)=4{{e}^{x}}+4\left( x-1 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+y-4x \right)$ $=4x{{e}^{x}}-y{{e}^{x}}+y\left( 4x-y \right)$ $=\left( 4x-y \right)\left( {{e}^{x}}+y \right)$.
${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 4x-y \right)\left( {{e}^{x}}+y \right)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{y}{4}$ (do ${{e}^{x}}+y>0$, $\forall y\in \mathbb{N}*$ ).
Trường hợp 1: $\dfrac{y}{4}\le 1\Leftrightarrow y\le 4$
Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( 1;6 \right)$ :
Ta có $f\left( 6 \right)>0\Leftrightarrow -6{{y}^{2}}+\left( 75-{{e}^{6}} \right)y+20{{e}^{6}}>0\Leftrightarrow -72,1<y<18,4$.
Suy ra $\forall y\in \mathbb{N}*,y\le 4,$ thì $f\left( 6 \right)>0$.
Do đó phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x\in \left( 1;6 \right)$ $\Leftrightarrow f\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow e+y-5>0\Leftrightarrow y>5-e\approx 2,3$.
Cùng điều kiện $y\le 4$ và $y$ nguyên dương, ta có $y\in \left\{ 3;4 \right\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2: $\dfrac{y}{4}\ge 6\Leftrightarrow y\ge 24$.
Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( 1;6 \right)$ :
Trường hợp 3: $1<\dfrac{y}{4}<6\Leftrightarrow 4<y<24$.
Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left( 1;6 \right)$ :
Cùng điều kiện $y\in \left( 4;24 \right)$ và $y$ nguyên dương ta có $y\in \left\{ 5;6;...;18 \right\}$.
Do đó, tập các giá trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\left\{ 3;4;....;18 \right\}$.
Vậy có $16$ giá trị nguyên dương của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.