Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho tồn tại số thực $x\in \left( 1;4 \right)$ thỏa mãn $\left( 3x-2 \right){{e}^{x}}=y\left( {{e}^{x}}+xy-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-x+2 \right)?$
A. 4.
B. 1.
C. 10.
D. 7.
A. 4.
B. 1.
C. 10.
D. 7.
Phương trình đã cho tương đương $\left( 3x-2 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+xy-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-x+2 \right)=0.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\left( 3x-2 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+xy-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-x+2 \right)$ ta có
${f}'\left( x \right)=3{{e}^{x}}+\left( 3x-2 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+y-3x-1 \right)$
$=\left( 3x+1 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+y-3x-1 \right)$
$=\left( {{e}^{x}}+y \right)\left( 3x-y+1 \right)$
TH1: Nếu $0<y\le 4\Rightarrow x=\dfrac{y-1}{3}\le 1,$ do đó ta có bảng biến thiên sau:
Với $f\left( 1 \right)=e-y\left( e+y-\dfrac{1}{2} \right)$ và $f\left( 4 \right)=10{{e}^{4}}-y\left( {{e}^{4}}+4y-26 \right)={{e}^{4}}\left( 10-y \right)+2y\left( 13-2y \right)>0.$
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương $f\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow -{{y}^{2}}-y\left( e-\dfrac{1}{2} \right)+e<0.$
Mà $y$ nguyên dương nên không có giá trị nào của $y$ thỏa mãn.
TH2: Nếu $y\ge 13\Rightarrow x=\dfrac{y-1}{3}\ge 4,$ do đó ta có bảng biến thiên như sau:
Ta thấy $f\left( 1 \right)=e-y\left( e+y-\dfrac{1}{2} \right)<0, \forall y\ge 13.$
Từ đó suy ra phương trình vô nghiệm.
TH3: $4<y<13\Rightarrow 1<x=\dfrac{y-1}{3}<4,$ từ đó ta có bảng biến thiên như sau:
Ta thấy $f\left( 1 \right)=e-y\left( e+y-\dfrac{1}{2} \right)<0, \forall y\in \left( 4;13 \right).$
Do đó để phương trình có nghiệm ta cần
$f\left( 4 \right)=10{{e}^{4}}-y\left( {{e}^{4}}+4y-26 \right)=-4{{y}^{2}}+y\left( 26-{{e}^{4}} \right)+10{{e}^{4}}>0.$
Suy ra $-15,79<y<8,64,$ kết hợp với $y$ nguyên dương và $4<y<13$ ta được $y\in \left\{ 5;6;7;8 \right\}.$
Vậy có 4 giá trị của $y.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\left( 3x-2 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+xy-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}-x+2 \right)$ ta có
${f}'\left( x \right)=3{{e}^{x}}+\left( 3x-2 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+y-3x-1 \right)$
$=\left( 3x+1 \right){{e}^{x}}-y\left( {{e}^{x}}+y-3x-1 \right)$
$=\left( {{e}^{x}}+y \right)\left( 3x-y+1 \right)$
TH1: Nếu $0<y\le 4\Rightarrow x=\dfrac{y-1}{3}\le 1,$ do đó ta có bảng biến thiên sau:
Khi đó yêu cầu bài toán tương đương $f\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow -{{y}^{2}}-y\left( e-\dfrac{1}{2} \right)+e<0.$
Mà $y$ nguyên dương nên không có giá trị nào của $y$ thỏa mãn.
TH2: Nếu $y\ge 13\Rightarrow x=\dfrac{y-1}{3}\ge 4,$ do đó ta có bảng biến thiên như sau:
Từ đó suy ra phương trình vô nghiệm.
TH3: $4<y<13\Rightarrow 1<x=\dfrac{y-1}{3}<4,$ từ đó ta có bảng biến thiên như sau:
Do đó để phương trình có nghiệm ta cần
$f\left( 4 \right)=10{{e}^{4}}-y\left( {{e}^{4}}+4y-26 \right)=-4{{y}^{2}}+y\left( 26-{{e}^{4}} \right)+10{{e}^{4}}>0.$
Suy ra $-15,79<y<8,64,$ kết hợp với $y$ nguyên dương và $4<y<13$ ta được $y\in \left\{ 5;6;7;8 \right\}.$
Vậy có 4 giá trị của $y.$
Đáp án A.