Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ để tồn tại số thực $x>1$ thỏa mãn...

Đầu tiên ta có phương trình sau: (*)
(1)
Giải thích: ta cô lập vế phải là một hàm theo biến luôn đồng biến trên ( )
Tiếp theo ta khảo sát hàm số trên
Ta có: . Thế vào ta có
Suy ra thì , kéo theo đó ta có được: .
Khi ấy để (*)có nghiệm thì cần có: (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra (3)
Cho vế trái (3) bằng không giải ra nghiệm (shift SOLVE) (**), khi đó ta có ý tưởng sau:
Giả sử đảo chiều (3), ta có: (4).
Tới đây ta sẽ chứng minh bất phương trình (4) luôn đúng với mọi .
Xét hàm số có nên suy ra tức . Suy ra bất phương trình (4) luôn đúng với mọi tức bất phương trình (3) luôn đúng với mọi .
Do (**) nên ta thử từng giá trị theo thứ tự từ lớn xuống, nhận thấy không thỏa nên
Mà đề cho nên ta thử hai giá trị còn lại lần lượt là , nhận thấy hai giá trị này đều thỏa nên suy ra tức . Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.