Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ thoả mãn ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+1}{2} \right)+x={{4}^{{{\sin }^{4}}y+{{\cos }^{4}}y}}-{{\sin }^{2}}2y$ ?
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. Vô số.
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. Vô số.
Điều kiện $x>-1$
Ta có ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+1}{2} \right)+x={{4}^{{{\sin }^{4}}y+{{\cos }^{4}}y}}-{{\sin }^{2}}2y$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+1}{2} \right)+x={{4}^{1-2{{\sin }^{2}}y{{\cos }^{2}}y}}-{{\sin }^{2}}2y$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)-1+x={{2}^{2-{{\sin }^{2}}2y}}-{{\sin }^{2}}2y$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+x+1={{2}^{2-{{\sin }^{2}}2y}}+\left( 2-{{\sin }^{2}}2y \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ có ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 2}>0$, $\forall t>0$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Phương trình đã cho có dạng $f\left( x+1 \right)=f\left( {{2}^{2-{{\sin }^{2}}2y}} \right)\Leftrightarrow x+1={{2}^{2-{{\sin }^{2}}2y}}$.
Ta có $2-{{\sin }^{2}}2y\in \left[ 1;2 \right]$, $\forall y$ nên $x+1={{2}^{2-{{\sin }^{2}}2y}}\in \left[ 2;4 \right]\Leftrightarrow x\in \left[ 1;3 \right]$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của $x$ thoả mãn phương trình đã cho.
Ta có ${{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+1}{2} \right)+x={{4}^{{{\sin }^{4}}y+{{\cos }^{4}}y}}-{{\sin }^{2}}2y$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+1}{2} \right)+x={{4}^{1-2{{\sin }^{2}}y{{\cos }^{2}}y}}-{{\sin }^{2}}2y$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)-1+x={{2}^{2-{{\sin }^{2}}2y}}-{{\sin }^{2}}2y$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+x+1={{2}^{2-{{\sin }^{2}}2y}}+\left( 2-{{\sin }^{2}}2y \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t$ trên $\left( 0;+\infty \right)$ có ${f}'\left( t \right)=1+\dfrac{1}{t\ln 2}>0$, $\forall t>0$. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Phương trình đã cho có dạng $f\left( x+1 \right)=f\left( {{2}^{2-{{\sin }^{2}}2y}} \right)\Leftrightarrow x+1={{2}^{2-{{\sin }^{2}}2y}}$.
Ta có $2-{{\sin }^{2}}2y\in \left[ 1;2 \right]$, $\forall y$ nên $x+1={{2}^{2-{{\sin }^{2}}2y}}\in \left[ 2;4 \right]\Leftrightarrow x\in \left[ 1;3 \right]$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ 1;2;3 \right\}$.
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của $x$ thoả mãn phương trình đã cho.
Đáp án C.