Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ sao cho tồn tại số thực $y$ lớn...

The Funny · 23/5/23

Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương

x

sao cho tồn tại số thực

y

lớn hơn

1

thỏa mãn

(x y^{2} + x - 2 y - 1) \log y = \log \frac{2 y - x + 3}{x}

A. 3.
B. 1.
C. vô số.
D. 2.

Điều kiện:

{\begin{matrix} 2 y - x + 3 > 0 \\ y > 1 \\ x \geq 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x - 2 y < 3 \\ y > 1 \\ x \geq 1 \end{matrix}

(x y^{2} + x - 2 y - 1) \log y = \log \frac{2 y - x + 3}{x}

\Leftrightarrow (x y^{2} + x - 2 y - 1) \log y - 2 \log y = \log \frac{2 y - x + 3}{x} - 2 \log y

\Leftrightarrow (x y^{2} + x - 2 y - 3) \log y = \log \frac{2 y - x + 3}{x y^{2}}

\Leftrightarrow (a - b) \log y = \log \frac{b}{a} \Leftrightarrow (a - b) \log y + \log \frac{a}{b} = 0

, với

{\begin{matrix} a = x y^{2} \\ b = 2 y - x + 3 \end{matrix} (a, b > 0)

Nếu

a > b

thì

(a - b) \log y + \log \frac{a}{b} > 0

,

a < b

thì

(a - b) \log y + \log \frac{a}{b} < 0

.
Nên

(a - b) \log y + \log \frac{a}{b} = 0 \Leftrightarrow a = b

\Leftrightarrow x y^{2} = 2 y - x + 3

\Leftrightarrow x = \frac{2 y + 3}{y^{2} + 1}

.
Xét hàm số

f (y) = \frac{2 y + 3}{y^{2} + 1}

với

y > 1

. Ta có

f^{'} (y) = \frac{- 2 y^{2} - 6 y + 2}{{(y^{2} + 1)}^{2}} < 0, \forall y > 1

.
Nên

f (y)

nghịch biến trên

(1; + \infty)

.
Bảng biến thiên:

Để tồn tại số thực

y

lớn hơn

1

thì

0 < x < \frac{5}{2} \Rightarrow x \in {1; 2}

.

Đáp án D.

Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho tồn tại số thực y lớn...