Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ bất...

Ta có: $\left( {{\log }_{3}}x-1 \right)\left( {{3}^{x}}-m \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}x<1 \\
& {{3}^{x}}>m \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}x>1 \\
& {{3}^{x}}<m \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& x<3 \\
& x>{{\log }_{3}}m \\
\end{aligned} \right. \left( 1 \right) \\
& \left\{ \begin{aligned}
& x>3 \\
& x<{{\log }_{3}}m \\
\end{aligned} \right. \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\in \left( {{\log }_{3}}m;3 \right)$. Do $x>0$ nên để bất phương trình ban đầu có nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì ${{\log }_{3}}m<2\Leftrightarrow m<9$. Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$, có $8$ giá trị.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow x\in \left( 3;{{\log }_{3}}m \right)$. Để bất phương trình ban đầu có nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì
$4<{{\log }_{3}}m\le 9\Leftrightarrow 81<m\le 19683$. Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên có $19602$ giá trị.
Vậy tất cả có: 19610 giá trị cần tìm.