Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ bất...

Ta có: $({\log }_{3}x-1)(3^x-m)<0\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& {\log }_{3}x<1\\ & 3^x>m\end{array}\\ & \{\begin{array}{rl}& {\log }_{3}x>1\\ & 3^x<m\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& x<3\\ & x>{\log }_{3}m\end{array}\left(1\right)\\ & \{\begin{array}{rl}& x>3\\ & x<{\log }_{3}m\end{array}\left(2\right)\end{array}$
$\left(1\right)\iff x\in ({\log }_{3}m;3)$. Do $x>0$ nên để bất phương trình ban đầu có nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì ${\log }_{3}m<2\iff m<9$. Do $m\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow m\in \{1;2;3;4;5;6;7;8\}$, có $8$ giá trị.
$\left(2\right)\iff x\in (3;{\log }_{3}m)$. Để bất phương trình ban đầu có nghiệm thỏa mãn yêu cầu thì
$4<{\log }_{3}m\le 9\iff 81<m\le 19683$. Do $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên có $19602$ giá trị.
Vậy tất cả có: 19610 giá trị cần tìm.