Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho có không quá $8$ số...

+ ${{\log }_{2}}(4x+m)>2{{\log }_{2}}(x-2)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-2>0 \\
& 4x+m>{{(x-2)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>2\quad (*) \\
& {{x}^{2}}-8x+4-m<0\ (**) \\
\end{aligned} \right.$
+ Xét $f(x)={{x}^{2}}-8x+4$ có ${\Delta }'=m+12>,\forall m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$
Khi đó $f(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt là $\left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=4+\sqrt{m+12} \\
& {{x}_{2}}=4-\sqrt{m+12} \\
\end{aligned} \right.$
Nên ${{x}^{2}}-8x+4-m<0\Leftrightarrow 4-\sqrt{m+12}<x<4+\sqrt{m+12}$ (1)
Do $m>0\Rightarrow m+12>12\Rightarrow 4-\sqrt{m+12}<2$
Kết hợp với (1) và điều kiện (*) $\Rightarrow 2<x<4+\sqrt{m+12}$
Để bất phương trình (**) không quá $8$ nghiệm thì $4+\sqrt{m+12}\le 11\Leftrightarrow 0<m\le 37\Rightarrow $ có $36$ số thỏa mãn.