Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để phương trình ${{\log...

Ta có
$\begin{aligned}
& \begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}{{\log }_{\sqrt{3}}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1 \right)+x{{\left( x-3 \right)}^{2}}={{3}^{m}}+2m-1 \\
& \Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1 \right)+{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1={{3}^{m}}+2m \\
\end{aligned}$
Đặt $t={{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1 \right)\Rightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1={{3}^{t}}$. Khi đó ta có
$2{{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1 \right)+{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1={{3}^{m}}+2m\Leftrightarrow {{3}^{t}}+2t={{3}^{m}}+2m$.
Xét hàm số $f\left( u \right)={{3}^{u}}+2u$ là hàm đồng biến $\forall u\in \mathbb{R}$ nên suy ra
$f\left( t \right)=f\left( m \right)\Leftrightarrow t=m\Leftrightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1={{3}^{m}}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+1$ trên khoảng $\left( -2;2 \right)$ có bbt:

Để thỏa mãn ycbt thì $\left[ \begin{aligned}
& 0<{{3}^{m}}\le 3 \\
& {{3}^{m}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m={{\log }_{3}}5\notin \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa ycbt.