Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để hàm số $y=\left|...

Cách 1:
Ta thấy phương trình $-{{x}^{2}}-mx+{{m}^{2}}+4=0$ luôn có hai nghiệm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$.
Khi đó $y=\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2mx-{{m}^{2}}+15 \text{khi} x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right) \\
& -{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}+23 \text{khi }x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó để hàm số đã cho có 3 cực trị thì điểm cực đại ${{x}_{CD}}=-2m$ của hàm số $y=-{{x}^{2}}-4mx+{{m}^{2}}+23$ thuộc khoảng $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)$ hay ${{x}_{1}}<-2m<{{x}_{2}}$.
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+2m \right)\left( {{x}_{2}}+2m \right)<0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4{{m}^{2}}<0 \\
& \Leftrightarrow -\left( {{m}^{2}}+4 \right)+2m.\left( -m \right)+4{{m}^{2}}<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0\Leftrightarrow -2<m<2 \\
\end{aligned}$.
+ Mà $m$ nguyên dương nên $m=1$. Suy ra số giá trị $m$ thỏa mãn là $1$.
Cách 2:
+ Đặt $g\left( x \right)={{x}^{2}}+mx-{{m}^{2}}-4$.
+ Điều kiện để $y$ có ba điểm cực trị là $g\left( -2m \right)<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0\Leftrightarrow -2<m<2$.
+ Mà $m$ nguyên dương nên $m=1$. Suy ra số giá trị $m$ thỏa mãn là $1$.