Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thỏa mãn ${{\log }_{6}}\left(...

Đặt $t=\sqrt[6]{a}$, do $a>0\Rightarrow t>0.$
Bất phương trình trở thành: ${{\log }_{6}}\left( {{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)>{{\log }_{3}}{{t}^{2}}\Leftrightarrow {{\log }_{6}}\left( {{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)-{{\log }_{3}}{{t}^{2}}>0.$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{\log }_{6}}\left( {{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)-{{\log }_{3}}{{t}^{2}},t>0.$
Khi đó, $f'\left( t \right)=\dfrac{3{{t}^{2}}+2t}{\left( {{t}^{3}}+{{t}^{2}} \right)\ln 6}-\dfrac{2t}{{{t}^{2}}\ln 3}<0,\forall t>0.$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ luôn nghịch biến với mọi $t>0$
Suy ra $t=3$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f\left( t \right)=0.$
Yêu cầu bài toán
$f\left( t \right)>0\Leftrightarrow f\left( t \right)>f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 0<t<3$ (do hàm số $f\left( t \right)$ luôn nghịch biến với mọi $t>0$ ).
Suy ra $\sqrt[6]{a}<3\Leftrightarrow a<{{3}^{6}}$. Vì a nguyên dương nên có ${{3}^{6}}-1$ số nguyên dương $a$ thỏa yêu cầu bài toán.