Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thỏa mãn $\left( \sqrt{1+{{\ln...

Giả thiết tương đương
$\left( \sqrt{1+{{\ln }^{2}}a}+\ln a \right)\left( \sqrt{1+{{\left( a-3 \right)}^{2}}}+a-3 \right)\le 1\Leftrightarrow \sqrt{1+{{\left( a-3 \right)}^{2}}}+a-3\le \sqrt{1+{{\left( -\ln a \right)}^{2}}}-\ln a\left( 1 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\sqrt{1+{{t}^{2}}}+t,\forall t\in \mathbb{R}$.
Có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{t}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}}+1=\dfrac{\sqrt{1+{{t}^{2}}}+t}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( a-3 \right)\le f\left( -\ln a \right)\Leftrightarrow a-3\le -\ln a\Leftrightarrow \ln a+a-3\le 0$.
Đặt $g\left( a \right)=\ln a+a-3,a>0$ có ${g}'\left( a \right)=\dfrac{1}{a}+1>0,\forall a>0$.
Do đó hàm số $g\left( a \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ mà $g\left( {{a}_{0}} \right)=0$ với ${{a}_{0}}\approx 2,21$.
Suy ra $a\le 2,21$.
Vậy $a=1$ và $a=2$.