Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ửng với mỗi $a$ tồn tại đúng 8 số thực $x$ thỏa mãn $\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-3+{{\log }_{4}}a \right)\left( a{{.2}^{2{{x}^{4}}-8{{x}^{2}}-3}}+1 \right)=-3?$
A. 1024.
B. 1028.
C. 1023.
D. 1026.
A. 1024.
B. 1028.
C. 1023.
D. 1026.
Đặt $t={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+{{\log }_{4}}a\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}=t-{{\log }_{4}}a=t-\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}a$
Phương trình trở thành:
$\left( t-3 \right)\left( {{2}^{2t-3}}+1 \right)=-3\Leftrightarrow t-3=-\dfrac{3}{{{2}^{2t-3}}+1}\Leftrightarrow g\left( t \right)=t-3+\dfrac{3}{{{2}^{2t-3}}+1}=0 \left( * \right)$
; ${g}'\left( t \right)=1-\dfrac{{{6.2}^{2t-3}}.\ln 2}{{{\left( {{2}^{2t-3}}+1 \right)}^{2}}}=0$ có đúng 2 nghiệm nên $\left( * \right)$ có tối đa 3 nghiệm
Nhận thấy $g\left( 1 \right)=g\left( 1,5 \right)=g\left( 2 \right)=0$ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=1,5 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\left[ \begin{aligned}
& {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+{{\log }_{4}}a=1 \\
& {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+{{\log }_{4}}a=1,5 \\
& {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+{{\log }_{4}}a=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}={{\log }_{4}}a-1\left( 1 \right) \\
& 4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}={{\log }_{4}}a-1,5\left( 2 \right) \\
& 4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}={{\log }_{4}}a-2\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Mà 3 đường thẳng $y={{\log }_{4}}a-1,y={{\log }_{4}}a-1,5;y={{\log }_{4}}a-2$ đôi một song song
Hàm số $g(x)=4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}$ có bảng biến thiên, như sau.
Vậy phương trình có đúng 8 nghiệm khi và chi khi
Trường hợp 1: Các phương trình $\left( 2 \right)$ ; $\left( 3 \right)$ mỗi phương trình có 4 nghiệm
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{4}}a-1>4 \\
& 0<{{\log }_{4}}a-1,5<4 \\
& 0<{{\log }_{4}}a-2<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 5<{{\log }_{4}}a<5,5\Leftrightarrow 1024<a<2048\Rightarrow a\in \{1025,\ldots ,2047\}$
Trường hợp 2: Phương trình $\left( 1 \right)$ có $4$ nghiệm và phương trình $\left( 2 \right) ; \left( 3 \right)$ mỗi phương trình có 2 nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
0<{{\log }_{4}}a-1<4 \\
{{\log }_{4}}a-1,5<0 \\
{{\log }_{4}}a-2<0 \\
\end{array}\Leftrightarrow 1<{{\log }_{4}}a<1,5\Leftrightarrow 4<a<8\Rightarrow a\in \{5,6,7\} \right.$.
Vậy có tất cả 1026 giá trị của $m$.
Phương trình trở thành:
$\left( t-3 \right)\left( {{2}^{2t-3}}+1 \right)=-3\Leftrightarrow t-3=-\dfrac{3}{{{2}^{2t-3}}+1}\Leftrightarrow g\left( t \right)=t-3+\dfrac{3}{{{2}^{2t-3}}+1}=0 \left( * \right)$
; ${g}'\left( t \right)=1-\dfrac{{{6.2}^{2t-3}}.\ln 2}{{{\left( {{2}^{2t-3}}+1 \right)}^{2}}}=0$ có đúng 2 nghiệm nên $\left( * \right)$ có tối đa 3 nghiệm
Nhận thấy $g\left( 1 \right)=g\left( 1,5 \right)=g\left( 2 \right)=0$ nên $\left( * \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=1,5 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\left[ \begin{aligned}
& {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+{{\log }_{4}}a=1 \\
& {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+{{\log }_{4}}a=1,5 \\
& {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+{{\log }_{4}}a=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}={{\log }_{4}}a-1\left( 1 \right) \\
& 4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}={{\log }_{4}}a-1,5\left( 2 \right) \\
& 4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}={{\log }_{4}}a-2\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Mà 3 đường thẳng $y={{\log }_{4}}a-1,y={{\log }_{4}}a-1,5;y={{\log }_{4}}a-2$ đôi một song song
Hàm số $g(x)=4{{x}^{2}}-{{x}^{4}}$ có bảng biến thiên, như sau.
Trường hợp 1: Các phương trình $\left( 2 \right)$ ; $\left( 3 \right)$ mỗi phương trình có 4 nghiệm
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{4}}a-1>4 \\
& 0<{{\log }_{4}}a-1,5<4 \\
& 0<{{\log }_{4}}a-2<4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 5<{{\log }_{4}}a<5,5\Leftrightarrow 1024<a<2048\Rightarrow a\in \{1025,\ldots ,2047\}$
Trường hợp 2: Phương trình $\left( 1 \right)$ có $4$ nghiệm và phương trình $\left( 2 \right) ; \left( 3 \right)$ mỗi phương trình có 2 nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
0<{{\log }_{4}}a-1<4 \\
{{\log }_{4}}a-1,5<0 \\
{{\log }_{4}}a-2<0 \\
\end{array}\Leftrightarrow 1<{{\log }_{4}}a<1,5\Leftrightarrow 4<a<8\Rightarrow a\in \{5,6,7\} \right.$.
Vậy có tất cả 1026 giá trị của $m$.
Đáp án D.