Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ửng với mỗi $a$ tồn tại...

Đặt $t=x^4-4x^2+{\log }_{4}a\iff x^4-4x^2=t-{\log }_{4}a=t-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}a$
Phương trình trở thành:
$(t-3)(2^{2t-3}+1)=-3\iff t-3=-{\displaystyle \frac{3}{2^{2t-3}+1}}\iff g\left(t\right)=t-3+{\displaystyle \frac{3}{2^{2t-3}+1}}=0(\ast )$
; $g^{\prime }\left(t\right)=1-{\displaystyle \frac{{6.2}^{2t-3}.\ln 2}{{(2^{2t-3}+1)}^2}}=0$ có đúng 2 nghiệm nên $(\ast )$ có tối đa 3 nghiệm
Nhận thấy $g\left(1\right)=g(1,5)=g\left(2\right)=0$ nên $(\ast )\iff [\begin{array}{rl}& t=1\\ & t=1,5\\ & t=2\end{array}$
Vậy $[\begin{array}{rl}& x^4-4x^2+{\log }_{4}a=1\\ & x^4-4x^2+{\log }_{4}a=1,5\\ & x^4-4x^2+{\log }_{4}a=2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& 4x^2-x^4={\log }_{4}a-1\left(1\right)\\ & 4x^2-x^4={\log }_{4}a-1,5\left(2\right)\\ & 4x^2-x^4={\log }_{4}a-2\left(3\right)\end{array}$
Mà 3 đường thẳng $y={\log }_{4}a-1,y={\log }_{4}a-1,5;y={\log }_{4}a-2$ đôi một song song
Hàm số $g(x)=4x^2-x^4$ có bảng biến thiên, như sau.
Vậy phương trình có đúng 8 nghiệm khi và chi khi
Trường hợp 1: Các phương trình $\left(2\right)$ ; $\left(3\right)$ mỗi phương trình có 4 nghiệm
$\iff \{\begin{array}{rl}& {\log }_{4}a-1>4\\ & 0<{\log }_{4}a-1,5<4\\ & 0<{\log }_{4}a-2<4\end{array}\iff 5<{\log }_{4}a<5,5\iff 1024<a<2048\Rightarrow a\in \{1025,\dots ,2047\}$
Trường hợp 2: Phương trình $\left(1\right)$ có $4$ nghiệm và phương trình $\left(2\right);\left(3\right)$ mỗi phương trình có 2 nghiệm $\iff \{\begin{array}{l}0<{\log }_{4}a-1<4\\ {\log }_{4}a-1,5<0\\ {\log }_{4}a-2<0\end{array}\iff 1<{\log }_{4}a<1,5\iff 4<a<8\Rightarrow a\in \{5,6,7\}$.
Vậy có tất cả 1026 giá trị của $m$.